Limites de Suites
1) Les différents cas possibles
Soit une suite \(\left( u_n \right)\).
Cas 1 : Limite \(+\infty\)
Définition
Intuitivement, si « \(u_n\) est aussi grand que l'on veut dès que \(n\) est assez grand », alors on dit que la suite \(\left( u_n \right)\) a pour limite \(+\infty\).
On note : \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = +\infty\).
De manière plus mathématique :
Tout intervalle de la forme \([A; +\infty[\) contient toutes les valeurs \(u_n\) à partir d'un certain rang.
Exemple :
\(\lim\limits_{n\to +\infty}n^2 = +\infty\)
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=0.09cm, font=\footnotesize]
% grille légère
\draw[gray!20, very thin] (-0.5,0) grid[step=1] (11,105);
% axes
\draw[-{Latex[length=2.5mm]}, thick] (-0.5,0) -- (11.5,0) node[below right]{$n$};
\draw[-{Latex[length=2.5mm]}, thick] (0,-3) -- (0,110) node[above left]{$u_n$};
\foreach \n in {1,...,10}
\draw (\n,-1)--(\n,1) node[below=3pt,pos=0]{\n};
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% ---- seuil M et rang N -----------------------------------------
\def\M{50} % valeur choisie pour M
\def\N{8} % plus petit entier tel que N^2 > M (7^2=49<50, 8^2=64>50)
% ligne horizontale y = M
\draw[dashed, red!70!black] (0,\M) -- (10.7,\M) node[right]{$M$};
% ligne verticale x = N
\draw[dashed, red!70!black] (\N,0) -- (\N,105) node[above]{$N$};
% zone "n >= N et u_n > M" (juste pour repérer visuellement le coin)
\fill[red!8] (\N,\M) rectangle (10.7,105);
% points de la suite u_n = n^2
\foreach \n in {0,...,10}{
\pgfmathsetmacro{\y}{\n*\n}
\ifnum\n<\N
\fill[blue!70!black] (\n,\y) circle (2pt);
\else
\fill[red!70!black] (\n,\y) circle (2pt);
\fi
}
% légende
\node[align=left, anchor=west] at (0.3,95)
{$u_n=n^2$\\[2pt]
Pour $M=\M$ choisi, dès que $n\ge N=\N$,\\
on a $u_n> M$.};
\end{tikzpicture}Cas 2 : Limite \(-\infty\)
Définition
Intuitivement, si les termes \(u_n\) finissent par être négatifs et si $ u_n|$ est aussi grand que l'on veut dès que \(n\) est assez grand, alors on dit que la suite \(\left( u_n \right)\) a pour limite \(-\infty\).
On note : \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = -\infty\).
De manière plus mathématique :
Tout intervalle de la forme \(]-\infty; A]\) contient toutes les valeurs \(u_n\) à partir d'un certain rang.
Exemple :
\(\lim\limits_{n\to +\infty}-n^2 = -\infty\)
Propriété
\(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = -\infty \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} -u_n = +\infty\)
Cas 3 : Suite convergente
Définition
Soit \(L\) un réel donné. Dire que \(\left( u_n \right)\) a pour limite \(L\) signifie que, lorsque \(n\) est de plus en plus grand, les nombres \(u_n\) correspondants viennent s'accumuler autour de \(L\).
On note : \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = L\).
De manière plus mathématique :
Tout intervalle ouvert contenant \(L\) contient toutes les valeurs \(u_n\) à partir d'un certain rang.
Exemple :
\(\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n} = 0\)
\begin{tikzpicture}[x=0.6cm, y=4cm, font=\footnotesize]
% grille légère
\draw[gray!20, very thin] (0,-0.2) grid[step=0.5] (16,1.1);
% axes
\draw[-{Latex[length=2.5mm]}, thick] (-0.3,0) -- (16.5,0) node[below right]{$n$};
\draw[-{Latex[length=2.5mm]}, thick] (0,-0.25) -- (0,1.15) node[above left]{$u_n$};
\foreach \n in {1,...,15}
\draw (\n,-0.02)--(\n,0.02) node[below=3pt,pos=0]{\n};
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% ---- seuil epsilon et rang N ------------------------------------
\def\eps{0.2} % valeur choisie pour epsilon
\def\N{6} % plus petit entier tel que 1/N < eps (1/5=0.2 pas <, 1/6≈0.167<0.2)
% bande horizontale ]-eps ; eps[
\fill[green!10] (0,-\eps) rectangle (16.3,\eps);
\draw[dashed, red!70!black] (0,\eps) -- (16.3,\eps) node[right]{$\varepsilon$};
\draw[dashed, red!70!black] (0,-\eps) -- (16.3,-\eps) node[right]{$-\varepsilon$};
\draw[dashed, red!70!black] (0,0) -- (16.3,0);
% ligne verticale x = N
\draw[dashed, blue!60!black] (\N,-0.25) -- (\N,1.1) node[above]{$N$};
% points de la suite u_n = 1/n
\foreach \n in {1,...,15}{
\pgfmathsetmacro{\y}{1/\n}
\ifnum\n<\N
\fill[blue!70!black] (\n,\y) circle (2pt);
\else
\fill[green!50!black] (\n,\y) circle (2pt);
\fi
}
% légende
\node[align=left, anchor=west] at (5.5,0.95)
{$u_n=\dfrac1n$\\[2pt]
Pour $\varepsilon=\eps$ choisi, dès que $n\ge N=\N$,\\
La suite reste dans la bande.};
\end{tikzpicture}
Propriété
Si une suite \(\left( u_n \right)\) a une limite finie \(L\), alors la limite \(L\) est unique.
Cas 4 : Suite divergente
Définition
Aucun des trois cas précédents ne se produit. La suite est alors divergente.
Exemple :
La suite \(\left( u_n \right)\) définie par \(u_n = (-1)^n\) prend successivement les valeurs \(1\) et \(-1\). Elle n'a donc pas de limite.
Propriété
Une suite qui ne converge pas est divergente (cas 1, cas 2, cas 4).
2) Opérations sur les limites
Les théorèmes suivants sont admis et présentés sous forme de tableaux. Les cas marqués par un point d'interrogation « ? » sont des formes indéterminées et nécessitent une étude particulière.
Limite de \(k \times u_n\) (où \(k\) est un réel donné)
| \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n\) | \(L\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(\lim\limits_{n\to +\infty}\langle k \times u_n \rangle\) (avec \(k>0\)) | \(kL\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\lim\limits_{n\to +\infty}\langle k \times u_n \rangle\) (avec \(k<0\)) | \(kL\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
Exemple :
Soit \(w_n = 5n^2\).
On a \(w_n = 5u_n\) où \(u_n = n^2\). Comme \(5 > 0\) et \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = +\infty\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty}w_n = +\infty\).
Limite de \(u_n + v_n\)
| \(\lim u_n\) | \(L\) | \(L\) | \(L\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim v_n\) | \(L'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\lim (u_n + v_n)\) | \(L + L'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(?\) |
Exemple : \(w_n = 5n^2 + \dfrac{1}{n}\).
\(\lim\limits_{n\to +\infty} 5n^2 = +\infty\) et \(\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\), donc \(\lim\limits_{n\to +\infty} w_n = +\infty\).
Limite de \(u_n \times v_n\)
| \(\lim u_n\) | \(L\) | \(L > 0\) | \(L > 0\) | \(L < 0\) | \(L < 0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim v_n\) | \(L'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) ou \(-\infty\) |
| \(\lim (u_n \times v_n)\) | \(LL'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(?\) |
Exemple :
\(w_n = -n^2 \times \left(5n^2 + \dfrac{1}{n}\right)\).
\(\lim\limits_{n\to +\infty} -n^2 = -\infty\) et \(\lim\limits_{n\to +\infty} 5n^2 + \dfrac{1}{n} = +\infty\), donc \(\lim\limits_{n\to +\infty} w_n = -\infty\).
Limite de \(\dfrac{u_n}{v_n}\)
Cas où \(\lim\limits_{n\to +\infty} v_n \neq 0\) :
| \(\lim u_n\) | \(L\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) ou \(-\infty\) | \(L > 0\) ou \(+\infty\) | \(L < 0\) ou \(-\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim v_n\) | \(L'\) | \(L' > 0\) | \(L' < 0\) | \(L' > 0\) | \(L' < 0\) | \(0\) | \(0^+\) | \(0^+\) | \(0\) |
| \(\lim \dfrac{u_n}{v_n}\) | \(\dfrac{L}{L'}\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(?\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(?\) |
Remarque :
« \(0\) en restant positive/négative » signifie que \((v_n)\) garde un signe constant à partir d'un certain rang.
Exemple :
\(w_n = \dfrac{5n^2 + \dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}}\).
\(\lim\limits_{n\to +\infty} 5n^2 + \dfrac{1}{n} = +\infty\) et \(\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0^+\), donc \(\lim\limits_{n\to +\infty} w_n = +\infty\).
Warning
Si un nombre tend vers \(0\), cela ne signifie pas qu'il va atteindre \(0\) pour autant...
3) Limites et comparaison
Théorèmes de comparaison en l'infini (TCI)
Propriété
-
Si \(u_n < v_n\) à partir d'un certain rang et \(\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = +\infty\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} v_n = +\infty\).
-
Si \(u_n < v_n\) à partir d'un certain rang et \(\lim\limits_{n\to +\infty} v_n = -\infty\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = -\infty\).
Exemple :
\(w_n = n - (-1)^n\).
On a \(n - 1 \leqslant w_n\), et \(\lim\limits_{n\to +\infty} (n - 1) = +\infty\), donc \(\lim\limits_{n\to +\infty} w_n = +\infty\).
Passage à la limite
Soit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergentes vers \(L\) et \(L'\).
Si \(u_n \leqslant v_n\) à partir d'un certain rang, alors \(L \leqslant L'\).
Si \((u_n)\) converge vers \(L\) et \(u_n \leqslant k\) pour tout \(n\), alors \(L \leqslant k\).
Exemple :
\(u_n = 1 - \dfrac{1}{n}\) et \(v_n = 1 + \dfrac{1}{n}\).
\(u_n \leqslant v_n\) et \(\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = 1\).
Théorème des gendarmes
Soit \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) trois suites telles que \(u_n \leqslant w_n \leqslant v_n\) à partir d'un certain rang.
Si \(\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = L\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} w_n = L\).
Exemple :
\(w_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\).
On a \(-\dfrac{1}{n} \leqslant w_n \leqslant \dfrac{1}{n}\), et \(\lim\limits_{n\to +\infty} \pm \dfrac{1}{n} = 0\), donc \(\lim\limits_{n\to +\infty} w_n = 0\).
4) Limites des suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques
Définition
Une suite arithmétique est définie par \(u_{n+1} = u_n + r\), où \(r\) est la raison.
Propriété
- Si \(r > 0\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = +\infty\).
- Si \(r < 0\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = -\infty\).
Suites géométriques
Définition
Une suite géométrique est définie par \(u_{n+1} = q \times u_n\), où \(q\) est la raison.
Propriété
- Si \(-1 < q < 1\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} q^n = 0\).
- Si \(q = 1\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} q^n = 1\).
- Si \(q > 1\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} q^n = +\infty\).
- Si \(q \leqslant -1\), la suite \((q^n)\) est divergente.
Exemple :
\(u_n = 2^n\) est divergente et \(\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = +\infty\).
Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique
Propriété
Pour une suite géométrique de raison \(q \neq 1\) et de premier terme \(u_0\) : $$ S_n = u_0 \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $$ Si \(0 < q < 1\), alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} S_n = \dfrac{u_0}{1 - q}\).
Preuve
On a \(\lim\limits_{n\to +\infty} q^{n+1} = 0\) car \(0 < q < 1\), donc : \(\lim\limits_{n\to +\infty} (1 - q^{n+1}) = 1\) et \(\lim\limits_{n\to +\infty} S_n = \dfrac{u_0}{1 - q}\).
Exemple : Soit \(v_n = 5 \times 2^n\). \(S_n = 5 \times \dfrac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2} = 5 \times 2^{n+1} - 5\).
5) Suites arithmético-géométriques
Définition
Une suite arithmético-géométrique est définie par \(u_{n+1} = a u_n + b\), où \(a\) et \(b\) sont deux réels.
Remarques
- Si \(a = 0\), la suite est constante (\(u_n = b\)).
- Si \(a = 1\), la suite est arithmétique de raison \(b\).
- Si \(b = 0\), la suite est géométrique de raison \(a\).
Représentation graphique
On considère la suite \(\{u_n\}\) définie par \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n + 10\) et \(u_0 = 1\). On note \(f(x) = \dfrac{1}{2} x + 10\).
Étapes :
- Tracer la droite \(y = \dfrac{1}{2} x + 10\).
- Tracer la droite \(y = x\).
- Placer \(u_0\) sur l'axe des abscisses.
- Placer \(u_1 = f(u_0)\) sur l'axe des ordonnées.
- Reporter \(u_1\) sur l'axe des abscisses via \(y = x\).
- Répéter pour obtenir \(u_2, u_3, \ldots\)
Dans la pratique, on ne dessine pas tous les traits de construction (juste les premiers !) et on se contente de mettre en évidence les variations et les limites.
\tikzset{
grille/.style={gray!25,very thin},
axe/.style={-{Latex[length=2.5mm]}, thick},
droite/.style={thick},
diagonale/.style={dashed, gray!70},
escalier/.style={thick},
pointvide/.style={draw=black, fill=white, circle, inner sep=0pt, minimum size=4pt}
}
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize, x=0.26cm, y=0.26cm]
\draw[grille] (-1,-1) grid[step=1] (24,24);
\draw[axe] (-1,0) -- (24,0);
\draw[axe] (0,-1) -- (0,24);
\foreach \x in {10,20} \draw (\x,-0.4)--(\x,0.4) node[below=2pt,pos=0]{\x};
\foreach \y in {10,20} \draw (-0.4,\y)--(0.4,\y) node[left=2pt,pos=0]{\y};
\draw[diagonale] (-1,-1) -- (23,23) node[above right]{$y=x$};
\draw[droite] (-1,9.5) -- (23,21.5) node[above right]{$y=\tfrac12x+10$};
% termes : u0=1, u1=10.5, u2=15.25, u3=17.625, u4=18.8125
\draw[red!70!black,thin]
(1,0) -- (1,10.5)
(10.5,0) -- (10.5,15.25)
(15.25,0) -- (15.25,17.625)
(17.625,0) -- (17.625,18.8125)
(18.8125,0) -- (18.8125,18.8125);
\draw[escalier,-{Latex[length=2.5mm]}] (1,0) -- (1,10.5) -- (10.5,10.5) -- (10.5,15.25) -- (15.25,15.25)
-- (15.25,17.625) -- (17.625,17.625) -- (17.625,18.8125) -- (18.8125,18.8125);
\foreach \p/\lab in {1/u_0, 10.5/u_1, 15.25/u_2, 17.625/u_3, 18.8125/u_4}
\node[pointvide,label=below:{$\lab$}] at (\p,0) {};
\node[align=center] at (11,22) {$(u_n)$ est croissante et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=20$\\
20 est l'abscisse du point d'intersection \\ des deux droites.};
\end{tikzpicture}\tikzset{
grille/.style={gray!25,very thin},
axe/.style={-{Latex[length=2.5mm]}, thick},
droite/.style={thick},
diagonale/.style={dashed, gray!70},
escalier/.style={thick},
pointvide/.style={draw=black, fill=white, circle, inner sep=0pt, minimum size=4pt}
}
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize, x=0.13cm, y=0.13cm]
% grille
\draw[grille] (-4,-12) grid[step=2] (48,30);
% axes
\draw[axe] (-4,0) -- (40,0);
\draw[axe] (0,-12) -- (0,30);
\foreach \x in {10,20,30} \draw (\x,0)--(\x,0.6) node[below=2pt,pos=0]{\x};
\foreach \y in {10,20,30} \draw (-0.6,\y)--(0.6,\y) node[left=2pt,pos=0]{\y};
\foreach \y in {-10} \draw (-0.6,\y)--(0.6,\y) node[left=2pt,pos=0]{\y};
% droites
\draw[diagonale] (-4,-4) -- (30,30);
\draw[droite] (-4,-5) -- (15,33);
\node at (30,10) {$u_{n+1}=2u_n+3$};
\node at (28,6) {$u_{0}=1$};
% termes de la suite : u0=1, u1=5, u2=13, u3=29
\draw[escalier,-{Latex[length=2.5mm]}] (1,0) -- (1,5) -- (5,5) -- (5,13) -- (13,13) -- (13,29) -- (29,29);
% points sur l'axe des abscisses
\foreach \p/\lab in {1/u_0, 5/u_1, 13/u_2, 29/u_3}
\node[pointvide,label=below:{$\lab$}] at (\p,0) {};
\node[align=center] at (23,-9) {La suite est croissante et\\ $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$};
\end{tikzpicture}\tikzset{
grille/.style={gray!25,very thin},
axe/.style={-{Latex[length=2.5mm]}, thick},
droite/.style={thick},
diagonale/.style={dashed, gray!70},
escalier/.style={thick},
pointvide/.style={draw=black, fill=white, circle, inner sep=0pt, minimum size=4pt}
}
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize, x=0.13cm, y=0.13cm]
\draw[grille] (-42,-38) grid[step=2] (22,12);
\draw[axe] (-42,0) -- (22,0);
\draw[axe] (0,-38) -- (0,12);
\foreach \x in {-40,-30,-20,-10,10,20} \draw (\x,-0.6)--(\x,0.6) node[below=2pt,pos=0]{\x};
\foreach \y in {-30,-20,-10,10} \draw (-0.6,\y)--(0.6,\y) node[left=2pt,pos=0]{\y};
\draw[diagonale] (-38,-38) -- (11,11);
\draw[droite] (-20,-37) -- (3,9);
\node at (14,7) {$u_{n+1}=2u_n+3$};
% termes : u0=-5, u1=-7, u2=-11, u3=-19, u4=-35
\draw[escalier,-{Latex[length=2.5mm]}] (-5,0) -- (-5,-7) -- (-7,-7) -- (-7,-11) -- (-11,-11) -- (-11,-19) -- (-19,-19) -- (-19,-35);
\foreach \p/\lab in {-5/u_0, -7/u_1, -11/u_2, -19/u_3}
\node[pointvide,label=above:{$\lab$}] at (\p,0) {};
\node[align=center] at (-33,-9) {La suite est decroissante et\\ $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$};
\end{tikzpicture}