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Feuille d'entraînement Olympiades 9

Exercice 1 (National Zone Amériques 2018) - Dés magiques

On lance deux dés \(D_a\) et \(D_b\) successivement et indépendamment ; on considère le total de points ainsi ramené et sa probabilité d'apparition. Par exemple, avec deux dés standards à six faces, si le premier jet fournit le 1, et le second le 1 aussi, le total vaudra \(1+1=2\), et sa probabilité d'apparition \(\frac{1}{12}\). L'étude statistique de ces sommes peut intervenir dans certains jeux de hasard, le jeu de l'Oie par exemple.

Jusqu'en question 6, les dés envisagés sont tétraédriques, comme sur le croquis ci-dessous. En questions 1 et 2, leurs quatre faces sont standards, numérotées 1, 2, 3, 4.

Tétraèdre

  1. Donner les trois manières d'obtenir pour total 6, en déduire que la probabilité d'obtenir un total de 6 est \(\frac{3}{16}\).

  2. Donner les différents totaux que l'on peut ainsi atteindre, puis leurs probabilités d'apparition. Qu'indiquent les coefficients de l'expression polynomiale \(P(x)=(x+x^2+x^3+x^4)^2\) une fois développée ? Expliquer.

Pour plus d'originalité, on prend maintenant des dés non standards : un dé \(D_1\) aux faces numérotées 1, 1, 2, 5 et un dé \(D_2\) aux faces numérotées 1, 4, 4, 4.

  1. Quelle est la probabilité d'obtenir un total de 6 ?

De manière générale, le dé \(D_a\) a quatre faces dont les valeurs \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\) vérifient \(1 \leq a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4\) et sont stockées dans un tableau \(t_a =\left[a_1,a_2,a_3,a_4\right]\). De même, le dé \(D_b\) a quatre faces \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), \(b_4\) vérifiant \(1 \leq b_1 \leq b_2 \leq b_3 \leq b_4\) et stockées dans le tableau \(t_a =\left[b_1,b_2,b_3,b_4\right]\). On définit les quantités polynomiales \(A(x)=x^{a_1}+x^{a_2}+x^{a_3}+x^{a_4}\) et \(B(x)=x^{b_1}+x^{b_2}+x^{b_3}+x^{b_4}\). Par exemple, les dés de la question 3 donnent lieu à \(t_a=\left[1, 1, 2, 5\right]\), \(t_b=\left[1, 4, 4, 4\right]\), \(A(x)=2x+x^2+x^5\) et \(B(x)=x+3x^4\).

  1. Déterminer \(t_a\), \(t_b\), \(A(x)\) et \(B(x)\)attachés aux dés \(D_a\) et \(D_b\) de faces 1, 2, 2, 3 et 1, 3, 3, 5.

  2. L'algorithme suivant (qu'il serait possible d'étendre à de grands dés) renvoie le coefficient de \(x^k\) dans le produit \(x^p(x^{b_1}+x^{b_2}+x^{b_3}+x^{b_4})\). Modifier cet algorithme pour qu'il renvoie le coefficient de x^k dans le produit \(A(x).B(x)\) de deux dés à \(n\) faces.

Coef←0
Pour j allant de 1 à 4
    Si p+t_b[j]=k alors 
        Coef←Coef+1
    Fin Si 
Fin Pour
Renvoyer Coef

Le colonel George Sicherman (États-Unis, XXe siècle) rechercha des couples de dés non-standards \(D_a\) et \(D_b\) dont les sommes des faces obéissent aux mêmes lois de probabilité que celles de deux dés standards. Voici comment il a pu procéder, d'abord sur des dés à quatre faces.

  1. On reprend les notations \(A(x)=x^{a_1}+x^{a_2}+x^{a_3}+x^{a_4}\) \(B(x)=x^{b_1}+x^{b_2}+x^{b_3}+x^{b_4}\) et \(P(x)=(x+x^2+x^3+x^4)^2\).

    a. Justifier que \(A(x).B(x)=P(x)\).

    b. Factoriser \(x+x^2+x^3+x^4\) en ne faisant apparaître que des quantités de degrés 1 et 2.

    c. Que valent \(A(0)\), \(A(1)\), \(B(0)\), \(B(1)\) ?

    d. Proposer dès lors une répartition possible et viable des facteurs de \(P\) entre \(A\) et \(B\), définissant un bon couple de dés non standards.

  2. Déterminer un couple de dés non standards à 6 faces dont la somme des faces obéit à la même loi de probabilité que celle de deux dés standards (aux faces : 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Exercice 2 (National 2006) - La spirale

Le plan muni d’un repère orthonormal d'origine O (unité 1 cm), est quadrillé de droites parallèles aux axes de coordonnées et passant par tous les points à coordonnées entières du plan. Sur ce quadrillage, on construit, en partant du point O vers le bas, une ligne brisée en forme de « spirale » qui « tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre », conformément au dessin ci-dessous. Pour tout point M à coordonnées entières, on note \(l(M)\) la longueur de la portion de « spirale » qui va du point O au point M.

Spirale

  1. Soit A un point de l'axe des abscisses tel que OA = 5. Déterminer les valeurs possibles de \(l(A)\).

  2. Soit B le point de coordonnées \((2005 ; 2006)\). Déterminer \(l(B)\).

  3. Déterminer les coordonnées du point C tel que l(C) = 2006.

  4. La « spirale » passe-t-elle effectivement par tous les points à coordonnées entières du plan ?