Feuille d'entraînement Olympiades 8

Exercice 1 (National Zone Amériques 2020) - L'oiseau et le cerf-volant

1. Réalisation de la figure

   À partir d'un segment [AB] horizontal :

   • tracer le point C tel que dans le triangle ABC, l'angle en A vaut 30° et l'angle en B vaut 45°;

   • tracer le point D, symétrique du point C par rapport au segment [AB] ;

   • noter H le point d'intersection des segments [AB] et [CD] ;

   • noter E le point d'intersection des droites (AC) et (BD) ;

   • noter F le point d'intersection des droites (AD) et (BC) ;

   • tracer le triangle AEF;

   • À partir du point I milieu de [EF], tracer les segments [IC] et [ID] qui coupent respectivement les segments [BE] et [BF] en J et K.

     Le cerf-volant est le quadrilatère ACBD et l'oiseau est le polygone AEJIKF.

     On pose AB = 1.

2. On cherche les dimensions du cerf-volant ACBD.

   a. Déterminer la nature des triangles ACD et BCD.

   b. Déterminer AH et CH en fonction de AC pour en déduire AC puis BC.

   c. En déduire l'aire S et le périmètre P de ce cerf-volant.

3. On cherche quelques dimensions de l'oiseau AEJIKF.

   a. Déterminer la nature des triangles AEF et BEF.

   b. Démontrer que AE = \(1 + \sqrt{3}\) ; en déduire CE.

   c. Calculer BE.

4. On "décore" le cerf-volant en dessinant son cercle inscrit noté (C).

   On dit qu'un cercle est inscrit dans un polygone si ce cercle est tangent à tous les côtés de ce polygone.

   On admet la propriété :

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   Un quadrilatère MNPQ possède un cercle inscrit si, et seulement si, MN+PQ=MQ+NP.

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   a. Pourquoi le cerf-volant ACBD possède-t-il un cercle inscrit ?

   On note S l'aire du cerf-volant et P son périmètre.

   Le rayon R du cercle inscrit (C) est donné par R=\(\dfrac{2S}{P}\).

   Calculer R.

   b. Déterminer la distance AG où G est le centre du cercle inscrit (C) en admettant que G est sur le segment [AB].

   c. Placer le point P tel que B soit le milieu de [AP] puis calculer la distance CP.

   d. En déduire alors une construction du point G, centre du cercle inscrit (C).

   e. Construire le cercle inscrit (C ).

5. On « décore » l'oiseau en dessinant le cercle inscrit (C') du triangle BCE.

   a. Déterminer l'aire S' et le périmètre P' du triangle BCE.

   b. Calculer le rayon R' du cercle inscrit (C') du triangle BCE en admettant que l'on a R' = P'.

   c. Comment construire le centre de ce cercle (C') sans aucun calcul ?

   Terminer le dessin en construisant le cercle (C') ainsi que son symétrique par rapport à la droite (AB).

Exercice 2 (Amiens 2002)

Comparer les entiers \(5^{2002}\) et \(3^{2002} + 4^{2002}\).