Feuille d'entraînement Olympiades 3

Sujets AEFE 2015

Exercice 1

Partie A

Ci-dessous est représenté dans un repère l’ensemble des points dont le couple \((x;y)\) de coordonnées vérifie la relation \(x^2-2y^2 = 1\). On s'intéresse plus particulièrement aux points de cette courbe dont les coordonnées sont des entiers comme par exemple le point A dont le couple de coordonnées est \((1;0)\).

1. Donner cinq autres couples d'entiers \((x;y)\) tels que \(x^2-2y^2 = 1\).

2. Soit \(a\) et \(b\) des entiers naturels. On pose \(A=a+2b\) et \(B=a+b\) .

   Exprimer \(A^2-2B^2\) en fonction de \(a^2-2b^2\).

   Donner un nouveau couple d'entiers \((x; y)\) solution de l'équation \(x^2-2y^2 = 1\) tel que \(x > 10\).

3. Rédiger un algorithme affichant le premier couple d'entiers \((x; y)\) solution de l’équation \(x^2-2y^2 = 1\) et tel que \(x > 2 015\).

   Quel est le couple obtenu ?

Partie B

On rappelle l’égalité valable pour tout entier naturel non nul \(n\) : \(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2\).

1. On dit qu'un entier naturel \(n\) strictement supérieur à 3 est délicieux s’il existe un entier \(k\) compris entre \(1\) et \(n\) tel que :

   \[1 + 2 + \dots + (k-1) = (k + 1) + (k + 2) + \dots + n\]

   a) Trouver le plus petit entier délicieux (on pourra remarquer que \(n^2 + n = \dfrac{(2n+1)^2-1}{4}\)

   b) Trouver un entier délicieux supérieur à \(1007\) .

2. On dit qu’un entier naturel \(n\) est équilibré s'il existe un entier \(p\) compris entre \(1\) et \(n\) tel que :

   \[1 + 2 + \dots + p = (p + 1) + (p + 2) + \dots + n\]

   a) Trouver le plus petit entier équilibré.

   b) Trouver un entier équilibré supérieur à 1007.

3. Existe-t-il des entiers à la fois délicieux et équilibrés ?

Exercice 2

On dispose d'un échiquier standard 8×8 dont les cases (chacune représente une unité d’aire) sont, sur chaque ligne et chaque colonne, alternativement noires et blanches. On désire partager cet échiquier en rectangles, chacun composé d’un certain nombre de cases en respectant de plus les deux contraintes suivantes : chaque rectangle doit comporter autant de cases blanches que de cases noires et les aires de tous les rectangles doivent être différentes. L’exemple ci-dessous montre un tel découpage avec quatre rectangles.

Le but est de déterminer la valeur maximale du nombre de rectangles que l'on peut ainsi construire et de préciser dans chaque cas rencontré un partage possible.

1. Proposer un exemple de découpage avec 5 rectangles, respectant ces contraintes.

   On note \(n\) le nombre de rectangles d'un découpage et \(a_1 , a_2, \dots, a_n\) le nombre de cases blanches de ces différents rectangles.

2. Prouver que l'aire de chaque rectangle est toujours paire.

3. Justifier que les \(a_i\) sont tous différents et que \(a_1 + a_2 + \dots + a_n = 32\).

   On peut donc supposer que les \(a_i\) sont classés, donc que l’on a : \(a_1 < a_2 < \dots < a_n\).

4. Prouver que \(1 \leqslant n \leqslant 7\).

   On suppose désormais que \(n = 7\).

5. Justifier que \(7 \leqslant a_7 \leqslant 10\).

6. a) Prouver que \(a_1=1\), \(a_2=2\) et \(a_3=3\).

   b) Prouver que le cas \(a_7 = 7\) est impossible.

7. Déterminer les valeurs de \(a_4,a_5,a_6\) et \(a_7\) qui sont envisageables et présenter les résultats dans un tableau.

8. Proposer pour tous les cas possibles un découpage et répondre au problème posé.