Feuille d'entraînement Olympiades 2

Exercice 1

On dit qu'un triangle est un triangle entier si les longueurs de ses \(3\) côtés sont des entiers naturels non nuls. On rappelle la propriété dite de l'« inégalité triangulaire » : dans tout triangle non aplati la longueur de chacun des côtés est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres.

1. Parmi les triplets suivants \((x;y;z)\), expliquer lequel désigne les longueurs des côtés d'un triangle entier non aplati, puis comment tracer ce triangle et avec quels outils :
  - \((4; 4; 5)\)
  - \((3; 6; 9)\)
  - \((2; 2; 6)\)
2. Quelles sont les valeurs possibles de l'entier \(z\) si \((15;19;z)\) désigne les longueurs des trois côtés d'un triangle entier non aplati rangées par ordre croissant de taille ?
3. Étant donné trois entiers naturels non nuls \(x\), \(y\) et \(z\) tels que \(x \leq y \leq z\), quelle condition faut-il ajouter pour que le triplet \((x;y;z)\) désigne les longueurs des côtés d'un triangle entier non aplati ?
Soit un \(p\) entier naturel non nul. On désigne par \(E_p\) l'ensemble des triplets d'entiers naturels rangés par ordre croissant \(x \leq y \leq z\) et désignant les côtés d'un triangle entier non aplati dont le périmètre est égal à \(p\).

Ainsi obtiendrait-on \(E_9 = \lbrace(1;4;4), (2;3;4), (3;3;3)\rbrace\).
1. Si le triplet appartient à \(E_{18}\) quelles sont les valeurs maximale et minimale pour \(z\) ?
2. Donner la composition de \(E_{18}\) et représenter dans un repère orthonormé l'ensemble des couples pour lesquels il existe un entier naturel \(z\) tel que \((x;y;z) \in E_{18}\).
  
  Vérifier que ces couples se situent à l'intérieur ou sur les bords d'un triangle dont les sommets ont des coordonnées entières.
1. Justifier que si \((x;y;z) \in E_{p}\) alors \((x+1;y+1;z+1) \in E_{p+3}\).
2. Soit \((x;y;z) \in E_{p+3}\) . Déterminer une condition sur \((x;y;z)\) pour que \((x-1;y-1;z-1) \in E_{p}\).
3. En déduire que si \(p\) est impair alors \(E_p\) et \(E_{p+3}\) ont le même nombre d'éléments.
Étude de \(E_{2019}\).
1. \(E_{2019}\) contient-il un triplet \((x;y;z)\) correspondant à un triangle équilatéral ?
2. \(E_{2019}\) contient-il des triplets \((x;y;z)\) correspondant à des triangles isocèles non équilatéraux? Si oui combien ?
3. Montrer que si \(E_{2019}\) contient un triplet \((x;y;z)\) correspondant à un triangle rectangle alors \(2019^2 = {4038}(x+y) - 2xy.\) En déduire que \(E_{2019}\) ne contient pas de triangle rectangle.
Dans cette question on se propose de dénombrer \(E_{2019}\).
1. Soit \((x;y;z) \in E_{2022}\). On rappelle que \(x \leq y \leq z\).
  
  Justifier que \(x + y \geq {1012}\) et \(x+2y \leq {2022}\).
2. Réciproquement, montrer que si \(x \leq y\), \(x + y \geq {1012}\) et \(x+2y \leq {2022}\) alors \((x;y;{2022}-x-y) \in E_{2022}\).
3. Justifier que, dans un repère orthonormé, l'ensemble des couples d'entiers naturels \((x;y)\) tels que \(x \leq y\), \(x + y \geq {1012}\) et \(x+2y \leq {2022}\) constitue l'ensemble des points à coordonnées entières d'un triangle qui est rectangle. En déterminer l'aire ainsi que le nombre de points à coordonnées entières situés sur ses côtés.
4. On admet le théorème de Pick :
  
  Théorème
  
  Si un polygone \(P\) est tel que tous ses sommets sont à coordonnées entières dans un repère orthonormé alors son aire \(A\) est donnée par la formule \(A = i + \frac{j}{2} -1\) où \(i\) désigne le nombre de points à coordonnées entières situés à l'intérieur de \(P\) et \(j\) le nombre de ceux situés sur les côtés de \(P\)
  
  En déduire le nombre de triplets de \(E_{2022}\) puis celui de \(E_{2019}\).
Une solution algorithmique

De manière générale, concevoir un programme (à retranscrire sur sa copie) permettant d'énumérer et de dénombrer \(E_p\). Le tester sur \(E_{2022}\) et sur \(E_{2019}\)

Exercice 2

Soit un carré ABCD de coté a.

Un cercle \(\Gamma\) intérieur au carré est tangent à \(\text{(AB)}\) et \(\text{(AD)}\).

Un second cercle \(\Gamma'\), intérieur au carré, est tangent extérieurement à \(\Gamma\) ainsi qu’aux droites \(\text{(CB)}\) et \(\text{(CD)}\).

Soit \(\text{S}\) la somme des aires des cercles \(\Gamma\) et \(\Gamma'\)

Qu’elles sont les valeurs maximale et minimale de \(\text{S}\) ?