Feuille d'entraînement Olympiades 11
Exercice 1 (National 2011)
Soit \(n\) un entier naturel non nul : \(n\) est dit S-atteignable si et seulement si il existe \(n\) entiers relatifs \(x_1, x_2,...,x_n\) vérifiant les trois conditions suivantes :
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\(x_i= \pm i\) pour tout \(i\) dans \(\left\{1;2;...;n \right\}\).
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Pour tout \(j\) dans \(\left\{1;2;...;n \right\}\), \(x_1+x_2+...+x_j\) est dans \([0;n]\). C'est à dire que les sommes partielles à partir de \(x_1\) restent dans \([0;n]\).
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\(x_1+x_2+...+x_n=n\)
Par exemple 1 est un S-nombre \((x_1=1)\).
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Montrer que si \(n \geq 2\) est un S-nombre, alors \(x_1=1\) et \(x_2=2\).
2 et 3 sont-ils des S-nombres?
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Montrer que 4 est un S-nombre, cela d'une seule façon (c'est à dire que les \(x_i\) existent et sont uniques).
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Montrer que 5 n'est pas un S-nombre.
On peut montrer de la même façon que les nombres 6, 7, 8 ne sont pas S-atteignables ; ce résultat est admis.
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Montrer que si \(n \geq 3\) est un S-nombre, alors \(x_{n-1}=-n+1\), \(x_n=n\) , \(x_{1}+x_2+...+x_{n-1}=0\).
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Le nombre 9 est-il un S-nombre?
Pour la suite, on rappelle que, pour tout entier naturel m non nul, on a \(1+2+3+...+m=\dfrac{m(m+1)}{2}\).
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Montrer que les nombres entiers qui sont des carrés d'entiers sont des S-nombres.
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a) Montrer que si \(n\) est un S-nombre, alors \(n(n-1)\) est divisible par 4. En déduire une condition nécessaire sur \(n\) pour que \(n\) soit un S-nombre.
b) La réciproque de cette condition nécessaire est-elle vraie?
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On suppose que \(N \geq 6\) est un S-nombre avec \(x_1=1\), \(x_2=2\), \(x_3=3\). Montrer que \(N+6\) est aussi un S-nombre.
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Question non posée le jour de l'épreuve
Montrer que pour tout entier naturel \(k \geq 5\), les nombres \(4k\) et \(4k+1\) sont des S-nombres.
Exercice 2 (Concours général 1986) - Inégalités
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\(u\) et \(v\) étant deux réels, montrer \(|u|+|v| \leq |u + v|+|u - v|\)
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\(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\) étant 4 réels, montrer que :