Feuille d'entraînement Olympiades 10
Exercice 1 (National Métropole 2022)
On considère un ensemble fini de points. On relie certains de ces points par des segments. L'ensemble ainsi constitué est appelé figure.
On effectue l'étiquetage d'une figure comportant \(n\) segments en associant à chaque point un entier compris entre \(0\) et \(n\), ces entiers étant distincts deux à deux. On attribue à chaque segment la valeur absolue de la différence des entiers associés à ses extrémités. Cet entier est appelé pondération du segment.
On dit que l'étiquetage de la figure est gracieux si les \(n\) pondérations obtenues sur les segments sont exactement tous les entiers de \(1\) à \(n\).
On donne ci-dessous un exemple d'étiquetage gracieux d'une figure comportant 6 points et 7 segments :
A. Des exemples
- Pour chacune des figures ci-dessous, préciser si l'étiquetage proposé est un étiquetage gracieux.
- Compléter l'étiquetage de la figure ci-dessous pour obtenir un étiquetage gracieux.
B. Cas des lignes
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on considère la figure \(\text L_n\) constituée de \(n+1\) points alignés et des \(n\) segments joignant des points voisins.
On propose ci-dessous l'étiquetage gracieux des points de la figure \(\text L_4\).
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Montrer qu'on peut trouver un étiquetage gracieux pour chacune des figures \(\text L_5\), \(\text L_6\) et \(\text L_7\).
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On admet qu'on peut trouver un étiquetage gracieux pour la figure \(\text L_{2022}\) tel que le point le plus à gauche soit étiqueté avec \(0\). Décrire cet étiquetage.
C. Cas des polygones
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Montrer que tout triangle et tout quadrilatère peut être muni d'un étiquetage gracieux.
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On a représenté ci-dessous un polygone à 11 côtés muni d'un étiquetage gracieux.
En déduire un étiquetage gracieux pour un polygone à 12 côtés.
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Déterminer la parité de la pondération d'un segment lorsque les étiquettes de ses extrémités sont :
a. de parités différentes ;
b. de même parité.
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En déduire qu'on ne peut pas trouver un étiquetage gracieux pour les pentagones.
D. Une très grande figure
On note \(\text K_{2022}\) la figure constituée de 2022 points telle que tout couple de points est relié par un unique segment.
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Montrer que \(\text K_{2022}\) est constituée de 2 043 231 segments.
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On suppose qu’il existe un étiquetage gracieux de \(\text K_{2022}\).
a. Quel est le nombre de segments dont la pondération est un nombre impair ?
b. On note \(p\) le nombre de points étiquetés avec un nombre pair. Exprimer en fonction de \(p\) le nombre de segments dont la pondération est un nombre impair.
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Montrer finalement que \(\text K_{2022}\) ne peut pas être muni d’un étiquetage gracieux.
Exercice 2 (Montpellier 2005) - Les nombres formidables
On considère l’ensemble des nombres entiers strictement positifs.
On définit l’opération collage de deux nombres entiers M et N par M * N = MN.
Ainsi :
6 * 4 = 64
35 * 2 = 352
17 * 35 = 1735.
Un entier N est formidable si N divise M * N pour tout entier M.
2 est formidable !
3 est-il formidable ?
Combien y a-t-il de nombres formidables à un chiffre ?
Combien y a-t-il de nombres formidables inférieurs à 2005 ?