Feuille d'entraînement Olympiades 1

Exercice 1

Un entier naturel non nul est un nombre Harshad s'il est divisible par la somme de ses chiffres.

Par exemple, \(n = 24\) est un nombre Harshad car la somme de ses chiffres est \(2 + 4 = 6\), et \(24\) est bien divisible par \(6\).

1. a) Montrer que \(364\) est un nombre Harshad.

   b) Quel est le plus petit entier qui ne soit pas un nombre Harshad ?

2. a) Donner un nombre Harshad de 4 chiffres.

   b) Soit \(n\) un entier non nul. Donner un nombre Harshad de \(n\) chiffres.

3. a) Montrer que \(110\), \(111\), \(112\) forment une liste de trois nombres Harshad consécutifs.

   b) En insérant judicieusement le chiffre \(0\) dans l’écriture décimale des nombres précédents,construire une autre liste de trois nombres Harshad consécutifs.

   c) Justifier l'existence d'une infinité de listes de trois nombres Harshad consécutifs.

4. a) Soit \(\text A=30 \times 31 \times 32 \times 33\). Calculer la somme des chiffres de \(\text A\).

   b) En déduire que \(98 208 030\), \(98 208 031\), \(98 208 032\) et \(98 208 033\) forment une liste de quatre nombres Harshad consécutifs.

   c) Justifier l'existence d'une infinité de listes de quatre nombres Harshad consécutifs.

5. a) En s'inspirant de la question 4, trouver une liste de cinq nombres Harshad consécutifs.

   b) Justifier l'existence d'une infinité de listes de cinq nombres Harshad consécutifs.

6. a) Soit \(i\) un chiffre compris entre \(0\) et \(8\).

   Soit \(p\) un entier dont le chiffre des dizaines est \(i\) et le chiffre des unités est \(9\).

   Montrer que soit la somme des chiffres du nombre \(p\) soit celle de \(p + 2\) est un nombre pair.

   En déduire que \(p\) et \(p + 2\) ne peuvent pas être tous les deux des nombres Harshad.

   b) Existe-t-il une liste de 22 nombres Harshad consécutifs ?

Exercice 2

Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long.

La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.

Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?