Petit Devoir : Probabilités 20-21

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications

Durée : 30 min

Exercice 1 (3 points)

Vrai ou faux (pour chaque question : 0,5 si juste / -0,5 si faux / 0 si pas de réponse)

AffirmationsCorrigé

1. Si $\text{P}(\text{A})=1$, alors $\text{A}$  et $\text{B}$  sont indépendants.
2. Si A $\subset$ B, alors $\text{A}$  et $\text{B}$  sont indépendants.
3. Si $\bar{\text{A}}$  et $\bar{\text{B}}$  sont indépendants, alors $\bar{\text{A}}$  et $\text{B}$ le sont aussi.
4. Si $\text{P}(\text{A})=0,3$  et $\text{P}(\text{B})=0,6$  et  $\text{P}(\text{A}\cap \text{B})=0,18$  , alors $\text{A}$ et $\text{B}$ sont indépendants.
5. Si $\text{P}(\text{A})=0,37$  et $\text{P}(\text{A}\cap \text{B})=0,2$ , alors $\text{P}(\text{A}\cup \text{B})=0,57$
6. Si A et B sont indépendants, $\text{P}(\text{A})=0,3$  et $\text{P}(\text{B})=0,2$ , alors $\text{P}(\bar{\text{A}}\cap \bar{\text{B}})=0,94$

1. V
2. V
3. V
4. V
5. F
6. F

Exercice 2 (4 points)

SujetCorrigé

Une compagnie d'assurance auto propose deux types de contrat :

• un contrat « Tous risques » ;
• un contrat « de base ».

En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :

• 60% des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans). Les autres clients ont un véhicule ancien ;
• parmi les clients possédant un véhicule récent, 70% ont souscrit au contrat « Tous risques » ;
• parmi les clients possédant un véhicule ancien, 50% ont souscrit au contrat « Tous risques ».

On considère un client choisi au hasard.

D'une manière générale, la probabilité d'un événement $\text{A}$  est notée $\text{P}(\text{A})$  et son événement contraire est noté $\overline{\text{A}}$ .

On note les événements suivants :

• $\text{R}$ : « le client possède un véhicule récent » ;

• $\text{T}$ : « le client a souscrit au contrat « Tous risques ».

• Donner, sans justifications, l'arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l'exercice.

• Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques ».

• Calculer $\text{P}(\text{T})$

1. Arbre de probabilités :

   

2. $\text{P}(\text{R}\cap \text{T})=\text{P}(\text{R})\times {\text{P}}_{\text{R}}(\text{T})={\displaystyle \frac{60}{100}}\times {\displaystyle \frac{70}{100}}={\displaystyle \frac{42}{100}}$

3. $\text{R}\cap \text{T}$  et $\overline{\text{R}}\cap \text{T}$  forment une partition de $\text{T}$, d'après la formule des probabilités totales, on a :

   $\text{P}(\text{T})=\text{P}(\text{R}\cap \text{T})+\text{P}(\overline{\text{R}}\cap \text{T})={\displaystyle \frac{42}{100}}+{\displaystyle \frac{40}{100}}\times {\displaystyle \frac{50}{100}}={\displaystyle \frac{62}{100}}$.

Exercice 3 (2 points)

Ci-dessous, on a représenté dans un tableau la répartition des licenciés d'un club de sport.

	$\text{Jeune}$	$\text{Adulte}$	$\text{Total}$
$\text{Homme}$	34	46	80
$\text{Femme}$	68	92	160
$\text{Total}$	102	138	240

On prélève au hasard la fiche de l'un des licenciés.

On considère les événements:

$\text{F}$ : « Le licencié est une femme »;

$\text{A}$ : « Le licencié est un adulte ».

SujetCorrigé

Justifier que les événements $\text{A}$  et $\text{F}$  sont indépendants.

Avec le tableau, on calcule :

${\text{P}}_{\text{F}}(\text{A})={\displaystyle \frac{\text{P}(\text{A}\cap \text{F})}{\text{P}(\text{F})}}={\displaystyle \frac{\text{card}(\text{A}\cap \text{F})}{\text{card}(\text{F})}}={\displaystyle \frac{92}{160}}={\displaystyle \frac{23}{40}}$ et $\text{P}(\text{A})={\displaystyle \frac{\text{card}(\text{A})}{\text{card}(\mathrm{\Omega })}}={\displaystyle \frac{138}{240}}={\displaystyle \frac{23}{40}}$.

On a donc ${\text{P}}_{\text{F}}(\text{A})=\text{P}(\text{A})$  et les évènements $\text{A}$  et $\text{F}$  sont bien indépendants.