Petit Devoir sur le Produit Scalaire 13-14

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Une règle graduée et un rapporteur sont nécessaires.

Durée: 30 min

Exercice 1

Dans un repère orthonormal, on donne les points:

$A(-7;3)$             $B(-2;3)$              $C(4;-5)$         

1. Calculer de deux façons différentes $\overrightarrow{\mathit{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathit{BC}}$ .

2. En déduire la valeur de $\cos \widehat{ABC}$ .

3. Tracer un cercle trigonométrique de rayon $5\text{cm}.$  

   Déterminer graphiquement la valeur au degré près de l'angle $\widehat{ABC}$ .

Corrigé

1. Dans le repère orthonomé, on a : $\overrightarrow{\text{BA}}(-5;0)$  et $\overrightarrow{\text{BC}}(6;-8)$  ce qui donne :

   $\overrightarrow{\text{BA}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=-5\times 6+0\times (-8)=-30$

   Et, avec l'expression géométrique (les vecteurs sont non nuls) :

   $\overrightarrow{\text{BA}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=\mathit{AB}.\mathit{BC}.\cos \theta$  avec $\theta$ l'angle formé par les deux vecteurs.

2. Avec le théorème Pythagore, on a : $\text{AB}=\sqrt{5^2}=5$  et $\text{BC}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$  ce qui donne l'équation suivante :

   $-30=50\cos \theta$  soit $-3=5\cos \theta$  soit $\cos \theta =-\frac{3}{5}$.

3. On trace le cercle trigonométrique d'unité $5$  cm ce qui donne :

   

   On lit $\theta \approx {127}^{\circ }$  au rapporteur.

Exercice 2:

On considère un losange $\mathit{ABCD}$  de centre $\mathit{O}\mathit{.}$

Démontrer que $\overrightarrow{\mathit{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathit{AD}}={\mathit{OA}}^2-{\mathit{OB}}^2$.  

Toutes les étapes du calcul sont attendues et doivent être justifiées

Corrigé

D'après la relation de Chasles, on a :

$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AD}}=(\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OB}})\cdot (\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OD}})$.

Comme $\text{O}$  milieu des diagonales du losange, on a : $\overrightarrow{\text{OD}}=-\overrightarrow{\text{OB}}$  ce qui donne :

$$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AD}}=(\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OB}})\cdot (\overrightarrow{\text{AO}}-\overrightarrow{\text{OB}})$$

On reconnaît la troisième identité remarquable sur les vecteurs :

$$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AD}}={\overrightarrow{\text{AO}}}^2-{\overrightarrow{\text{OB}}}^2$$

soit

$$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AD}}={\text{AO}}^2-{\text{OB}}^2$$