Petit Devoir sur le Produit Scalaire 13-14
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Une règle graduée et un rapporteur sont nécessaires.
Durée: 30 min
Exercice 1
Dans un repère orthonormal, on donne les points:
\(A(-7;3)\) \(B(-2;3)\) \(C(4;-5)\)
-
Calculer de deux façons différentes \(\overrightarrow{\mathit{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathit{BC}}\) .
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En déduire la valeur de \(\cos \widehat{ABC}\) .
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Tracer un cercle trigonométrique de rayon \(5\text{cm}.\)
Déterminer graphiquement la valeur au degré près de l'angle \(\widehat{ABC}\) .
Corrigé
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Dans le repère orthonomé, on a : \(\overrightarrow{\text{BA}}(-5\mathrm ;0)\) et \(\overrightarrow{\text{BC}}(6\mathrm ;-8)\) ce qui donne :
\(\overrightarrow{\text{BA}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=-5\times 6+0\times (-8)=-30\)
Et, avec l'expression géométrique (les vecteurs sont non nuls) :
\(\overrightarrow{\text{BA}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=\mathit{AB}.\mathit{BC}.\cos \theta\) avec \(\theta\) l'angle formé par les deux vecteurs.
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Avec le théorème Pythagore, on a : \(\text{AB}=\sqrt{5^2}=5\) et \(\text{BC}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\) ce qui donne l'équation suivante :
\(-30=50\cos \theta\) soit \(-3=5\cos \theta\) soit \(\cos \theta =-\frac 3 5\).
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On trace le cercle trigonométrique d'unité \(5\) cm ce qui donne :
On lit \(\theta \approx 127^{\circ }\) au rapporteur.
Exercice 2:
On considère un losange \(\mathit{ABCD}\) de centre \(\mathit{O.}\)
Démontrer que \(\overrightarrow{\mathit{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathit{AD}}=\mathit{OA}^2-\mathit{OB}^{2}\).
Toutes les étapes du calcul sont attendues et doivent être justifiées
Corrigé
D'après la relation de Chasles, on a :
\(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AD}}=(\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OB}})\cdot (\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OD}})\).
Comme \(\text O\) milieu des diagonales du losange, on a : \(\overrightarrow{\text{OD}}=-\overrightarrow{\text{OB}}\) ce qui donne :
On reconnaît la troisième identité remarquable sur les vecteurs :
soit