Devoir sur le Second degré (30 minutes) — Sujet B
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la justification.
Le barème est donné à titre indicatif.
Durée : 30 min
Exercice 1 (2 points)
Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=2x^2-8x+9\).
-
Écrire \(f(x)\) sous forme canonique.
Corrigé
\(f(x)=2(x^2-4x)+9=2\left((x-2)^2-4\right)+9=2(x-2)^2-8+9=2(x-2)^2+1\)
-
En déduire que \(f\) admet un minimum que l'on précisera, et la valeur en laquelle il est atteint.
Corrigé
\((x-2)^2\geqslant 0 \Rightarrow 2(x-2)^2\geqslant 0 \Rightarrow 2(x-2)^2+1\geqslant 1 \Rightarrow f(x)\geqslant 1\)
De plus \(f(2)=1\), donc \(f\) admet 1 pour minimum, atteint pour \(x=2\).
Exercice 2 (3 points)
Résoudre les deux équations suivantes :
Corrigé
\((E_1)\) est une équation du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\) :
\(\Delta=(-5)^2-4\times 3\times(-2)=25+24=49=7^2\)
L'équation \((E_1)\) admet donc deux solutions distinctes :
\(x_1=\dfrac{5-7}{6}=-\dfrac 1 3\) et \(x_2=\dfrac{5+7}{6}=2\)
L'ensemble \(S_1\) des solutions de \((E_1)\) est donc \(S_1=\left\{-\dfrac 1 3\,;2\right\}\).
Corrigé
\(4(x+2)^2-(3x-1)^2=(2x+4)^2-(3x-1)^2=(2x+4-(3x-1))(2x+4+3x-1)=(-x+5)(5x+3)\)
D'où \((E_2) \Leftrightarrow (-x+5)(5x+3)=0 \Leftrightarrow x=5\) ou \(x=-\dfrac 3 5\)
L'ensemble \(S_2\) des solutions de \((E_2)\) est donc \(S_2=\left\{-\dfrac 3 5\,;5\right\}\).
Exercice 3 (3 points)
Une parabole représentant une fonction polynôme du second degré \(f\) admet pour sommet le point \(S(-1\,;3)\) et passe par le point \(A(1\,;11)\).
Déterminer une expression de \(f(x)\).
Corrigé
Le sommet est en \(x=-1\), donc \(-\dfrac b{2a}=-1 \Rightarrow b=2a\), et \(f(-1)=3 \Rightarrow a-b+c=3 \Rightarrow c=3-a+b=3+a\).
\(f\) s'écrit donc \(f(x)=ax^2+2ax+3+a\).
De plus, \(f(1)=11 \Rightarrow a+2a+3+a=11 \Rightarrow 4a=8 \Rightarrow a=2\).
D'où \(f(x)=2x^2+4x+5\).
Exercice 4 (2 points)
Déterminer deux nombres réels dont la somme vaut 6 et le produit vaut 4.
Corrigé
Les deux nombres \(a\) et \(b\) sont solutions de l'équation \(x^2-6x+4=0\).
Calculons le discriminant \(\Delta\) :
\(\Delta=(-6)^2-4\times 4=36-16=20\)
\(\Delta>0\) donc l'équation admet deux solutions distinctes :
\(x_1=\dfrac{6-\sqrt{20}}{2}=\dfrac{6-2\sqrt 5}{2}=3-\sqrt 5\) et \(x_2=\dfrac{6+2\sqrt 5}{2}=3+\sqrt 5\)
Les deux nombres cherchés sont donc \(3-\sqrt 5\) et \(3+\sqrt 5\).