Devoir sur le Second degré - Sujet A (30 minutes)
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la justification.
Le barème est donné à titre indicatif.
Durée : 30 min
Exercice 1 (2 points)
Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=-2x^2+8x-3\).
-
Écrire \(f(x)\) sous forme canonique.
Corrigé
\(f(x)=-2(x^2-4x)-3=-2\left((x-2)^2-4\right)-3=-2(x-2)^2+8-3=-2(x-2)^2+5\)
-
En déduire que \(f\) admet un maximum que l'on précisera, et la valeur en laquelle il est atteint.
Corrigé
\((x-2)^2\geqslant 0 \Rightarrow -2(x-2)^2\leqslant 0 \Rightarrow -2(x-2)^2+5\leqslant 5 \Rightarrow f(x)\leqslant 5\)
De plus \(f(2)=5\), donc \(f\) admet \(5\) pour maximum, atteint pour \(x=2\).
Exercice 2 (3 points)
Résoudre les deux équations suivantes :
Corrigé
\(9(x-1)^2-(2x+3)^2=(3x-3)^2-(2x+3)^2=(3x-3-(2x+3))(3x-3+2x+3)=(x-6)(5x)\)
D'où \((E_1) \Leftrightarrow x(x-6)=0 \Leftrightarrow x=0\) ou \(x=6\)
L'ensemble \(S_1\) des solutions de \((E_1)\) est donc \(S_1=\{0\,;6\}\).
Corrigé
\((E_2)\) est une équation du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\) :
\(\Delta=(-5)^2-4\times 2\times(-3)=25+24=49=7^2\)
L'équation \((E_2)\) admet donc deux solutions distinctes :
\(x_1=\dfrac{5-7}{4}=-\dfrac 1 2\) et \(x_2=\dfrac{5+7}{4}=3\)
L'ensemble \(S_2\) des solutions de \((E_2)\) est donc \(S_2=\left\{-\dfrac 1 2\,;3\right\}\).
Exercice 3 (3 points)
Une parabole représentant une fonction polynôme du second degré \(f\) admet pour sommet le point \(S(1\,;-4)\) et passe par le point \(A(3\,;0)\).
Déterminer une expression de \(f(x)\).
Corrigé
Le sommet est en \(x=1\), donc \(-\dfrac b{2a}=1 \Rightarrow b=-2a\), et \(f(1)=-4 \Rightarrow a+b+c=-4 \Rightarrow c=-4-a-b=-4+a\).
\(f\) s'écrit donc \(f(x)=ax^2-2ax+a-4\).
De plus, \(f(3)=0 \Rightarrow 9a-6a+a-4=0 \Rightarrow 4a=4 \Rightarrow a=1\).
D'où \(f(x)=x^2-2x-3\).
Exercice 4 (2 points)
Déterminer deux nombres réels dont la somme vaut 4 et le produit vaut 1.
Corrigé
Les deux nombres \(a\) et \(b\) sont solutions de l'équation \(x^2-4x+1=0\).
Calculons le discriminant \(\Delta\) :
\(\Delta=(-4)^2-4\times 1=16-4=12\)
\(\Delta>0\) donc l'équation admet deux solutions distinctes :
\(x_1=\dfrac{4-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt 3}{2}=2-\sqrt 3\) et \(x_2=\dfrac{4+2\sqrt 3}{2}=2+\sqrt 3\)
Les deux nombres cherchés sont donc \(2-\sqrt 3\) et \(2+\sqrt 3\).