Aller au contenu

Devoir Vecteurs et Python 17-18

Une seule calculatrice autorisée.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée: 55 min

Exercice 1 (8 points)

\(\text{ABC}\) est un triangle quelconque.

On considère les points I, J et K tels que \(\overrightarrow{\text{AI}}=\dfrac 3 4\overrightarrow{\text{AC}}\); \(\overrightarrow{\text{AJ}}=\dfrac 2 3\overrightarrow{\text{AB}}\); \(\overrightarrow{\text{BK}}=\dfrac 3 5\overrightarrow{\text{BC}}\).

On souhaite démontrer que les droites \((\text{AK})\) , \((\text{BI})\)  et \((\text{CJ})\)  sont trois droites concourantes, c'est à dire qu'elles sont sécantes en un même point.

On appelle \(\text{E}\) le point d'intersection des droites \((\text{AK})\) et \((\text{BI})\)

  1. Dans le repère \(({\text A} ;\overrightarrow{\text{AB}} ,\overrightarrow{\text{AC}})\) , déterminer les coordonnées des points \(\text I\) , \(\text J\)  et justifier que \(\text K\) a pour coordonnées \(\text K\left(\dfrac 2 5 ;\dfrac 3 5\right)\).

  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\text{BI})\)  et vérifier que \(3x+4y-3=0\)  est une autre équation cartésienne de la droite \((\text{BI})\) .

    On admet que \(3x-2y=0\)  est une équation cartésienne de la droite \((\text{AK})\) .

  3. En déduire les coordonnées du point \(\text E\) .

  4. Démontrer que les droites \((\text{AK})\) , \((\text{BI})\)  et \((\text{CJ})\)  sont trois droites concourantes.

  1. \(\overrightarrow{\text{AI}}=\dfrac 3 4\overrightarrow{\text{AC}}\) donc \(\text I\left(0 ;\dfrac 3 4\right)\)  et \(\overrightarrow{\text{AJ}}=\dfrac 2 3\overrightarrow{\text{AB}}\)  donc \(\text J\left(\dfrac 2 3;0\right)\) .

    \(\overrightarrow{\text{AK}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BK}}\) (Chasles)

    \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{\text{AK}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac 3 5\overrightarrow{\text{BC}}\)

    \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{\text{AK}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac 3 5(\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}})\)  (Chasles)

    \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{\text{AK}}=\left(1-\dfrac 3 5\right)\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac 3 5\overrightarrow{\text{AC}}\)

    \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{\text{AK}}=\dfrac 2 5\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac 3 5\overrightarrow{\text{AC}}\) d'où \(\text K\left(\dfrac 2 5 ;\dfrac 3 5\right)\) .

  2. On a \(\text B(1 ;0)\)  d'où \(\overrightarrow{\text{BI}}\) \(\left(\begin{matrix}-1\\\dfrac 3 4\end{matrix}\right)\).

    Soit \(\text M(x ;y)\)  un point de \((\text{BI})\) , on a \(\overrightarrow{\text{BM}}\) \(\left(\begin{matrix}x-1\\y\end{matrix}\right)\) , si \(\text M\) est un point de \((\text{BI})\) , alors \(\overrightarrow{\text{BM}}\)  et \(\overrightarrow{\text{BI}}\)  sont colinéaires. On a donc la relation de colinéarité: \(\dfrac 3 4(x-1)+y=0\)  \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac 3 4x+y-\dfrac 3 4=0\) \(\Leftrightarrow\) \(3x+4y-3=0\)

    Cette équation est bien une équation cartésienne de la droite \((\text{BI})\) .

  3. Le point E est le point d'intersection des droites \((\text{AK})\)  et \((\text{BI})\) , ses coordonnées \((x;y)\)  vérifient donc le système: \(\left\{\begin{matrix}3x+4y-3=0\\3x-2y=0\end{matrix}\right.\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}3x-2y=0\\6y-3=0\end{matrix}\right.\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}y=\dfrac 1 2\\x=\dfrac 1 3\end{matrix}\right.\)  d'où \(\text E\left(\dfrac 1 3 ;\dfrac 1 2\right)\).

  4. Si \((\text{AK})\) , \((\text{BI})\)  et \((\text{CJ})\)  sont concourantes, alors \(\text{E}\) appartient à \((\text{CJ})\) . On vérifie donc que \(\overrightarrow{\text{CE}}\)  et \(\overrightarrow{\text{CJ}}\)  sont colinéaires: \(\overrightarrow{\text{CE}}\) \(\left(\begin{matrix}\dfrac 1 3\\-\dfrac 1 2\end{matrix}\right)\)  et \(\overrightarrow{\text{CJ}}\) \(\left(\begin{matrix}\dfrac 2 3\\-1\end{matrix}\right)\)  donc \(\overrightarrow{\text{CJ}}=2\overrightarrow{\text{CE}}\) , les vecteurs sont colinéaires et \(\text C\)  est un point commun donc \(\text E\) appartient bien à \((\text{CJ})\) .

    \(\Rightarrow\) les droites \((\text{AK})\) , \((\text{BI})\)  et \((\text{CJ})\)  sont bien concourantes.

Exercice 2 (2 points)

Compléter le programme ci-dessous écrit en langage Python qui permettrait, connaissant les coordonnées \((x_M;y_M)\)  d'un point M et les coefficients \(a\),\(b\) et \(c\) d'une équation cartésienne \(ax+by+c=0\)  de la droite \((d)\), de déterminer si le point M appartient à la droite \((d)\) ou non et d'afficher une équation de la droite parallèle à \((d)\) passant par M dans le cas où M n'appartient pas à \((d)\).

if..........................
    print("M appartient à (d)")
else:
    print("M n'appartient pas à (d)")
    d=.........................
    print("La droite parallèle à (d) passant par M a pour équation",...,"x+",...,"y+",...,"=0")

if axM+byM+c==0:
    print("M appartient à (d)")
else:
    print("M n'appartient pas à (d)")
    d=-axM-byM
    print("La droite parallèle à (d) passant par M a pour équation",a,"x+",b,"y+",d,"=0")