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Devoir de géométrie 18-19

Les détails de calculs et de raisonnements doivent apparaître dans votre rédaction.

L'usage de la calculatrice est autorisé

Durée: 1 heure

Exercice 1

On se place dans un repère orthonormé (O;ı,ȷ) . ABC  est un triangle tel que A(3;2) , B(2;2)  et C(2;4) . On note I et J  les milieux respectifs des segments [AB]  et [AC] .

  1. Calculer les coordonnées des deux milieux I  et J .

  2. Le triangle ABC  est-il isocèle en A ?

  3. Démontrer que l'équation 2x9y+14=0  est une équation cartésienne de la médiane (Δ1)  issue du sommet B.

  4. De même, déterminer une équation cartésienne de la médiane (Δ2)  issue du sommet C .

  5. Déterminer les coordonnées du centre de gravité G, intersection de (Δ1)  et de (Δ2) .

Exercice 2

Répondre aux assertions suivantes par vrai ou faux. Justifier clairement les réponses.

  1. a. AI=IB   I  est le milieu de [AB] .

    b. AI=IB   I  est le milieu de [AB] .

    c. AI=IB I  est le milieu de [AB] .

  2. AB+AC=AD ABDC est un parallélogramme.

Exercice 3

Le plan est muni d'un repère (O;ı,ȷ) . La parabole (P)  a pour équation y=x2+6x+6.

Sachant que m  est un réel, on appelle (Dm) la droite d'équation y=mx+2 .

  1. Déterminer m  pour que l'équation x2+(6m)x+4=0  admette une unique solution.

  2. En déduire la ou les valeurs de m  pour que (Dm)  et la parabole P  aient exactement un point d'intersection.

  3. Déterminer les coordonnées de ce point d'intersection.

Exercice 4

Construire un triangle ABC , puis les points D , E  et F  tels que :

AD=12AC    et AE=13AB    et BF=2BC .

  1. Décomposer DE  dans la base (AB,AC) .

  2. Décomposer DF  dans la base (AB,AC).

  3. Démontrer que D, E  et F  sont alignés.