Devoir de géométrie 18-19

Les détails de calculs et de raisonnements doivent apparaître dans votre rédaction.

L'usage de la calculatrice est autorisé

Durée: 1 heure

Exercice 1

On se place dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{ı},\overrightarrow{ȷ})$ . $\text{ABC}$  est un triangle tel que $\text{A}(3;-2)$ , $\text{B}(-2;2)$  et $\text{C}(2;4)$ . On note $\text{I}$ et $\text{J}$  les milieux respectifs des segments $[\text{AB}]$  et $[\text{AC}]$ .

1. Calculer les coordonnées des deux milieux $\text{I}$  et $\text{J}$ .

2. Le triangle $\text{ABC}$  est-il isocèle en $\text{A}$ ?

3. Démontrer que l'équation $-2x-9y+14=0$  est une équation cartésienne de la médiane $({\mathrm{\Delta }}_1)$  issue du sommet B.

4. De même, déterminer une équation cartésienne de la médiane $({\mathrm{\Delta }}_2)$  issue du sommet $\text{C}$ .

5. Déterminer les coordonnées du centre de gravité $\text{G}$, intersection de $({\mathrm{\Delta }}_1)$  et de $({\mathrm{\Delta }}_2)$ .

Exercice 2

Répondre aux assertions suivantes par vrai ou faux. Justifier clairement les réponses.

1. a. $\text{AI}=\text{IB}$  $\Rightarrow$ $\text{I}$  est le milieu de $[\text{AB}]$ .

   b. $\overrightarrow{\text{AI}}=\overrightarrow{\text{IB}}$  $\Rightarrow$ $\text{I}$  est le milieu de $[\text{AB}]$ .

   c. $\overrightarrow{\text{AI}}=\overrightarrow{\text{IB}}$ $\iff$ $\text{I}$  est le milieu de $[\text{AB}]$ .

2. $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}}$ $\iff$ $\text{ABDC}$ est un parallélogramme.

Exercice 3

Le plan est muni d'un repère $(\text{O};\overrightarrow{ı},\overrightarrow{ȷ})$ . La parabole $(\text{P})$  a pour équation $y=x^2+6x+6$.

Sachant que $m$  est un réel, on appelle $({\text{D}}_m)$ la droite d'équation $y=mx+2$ .

1. Déterminer $m$  pour que l'équation $x^2+(6-m)x+4=0$  admette une unique solution.

2. En déduire la ou les valeurs de $m$  pour que $({\text{D}}_m)$  et la parabole $\text{P}$  aient exactement un point d'intersection.

3. Déterminer les coordonnées de ce point d'intersection.

Exercice 4

Construire un triangle $\text{ABC}$ , puis les points $\text{D}$ , $\text{E}$  et $\text{F}$  tels que :

$\overrightarrow{\text{AD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$    et $\overrightarrow{\text{AE}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}}$    et $\overrightarrow{\text{BF}}=2\overrightarrow{\text{BC}}$ .

1. Décomposer $\overrightarrow{\text{DE}}$  dans la base $(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})$ .

2. Décomposer $\overrightarrow{\text{DF}}$  dans la base $(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})$.

3. Démontrer que $\text{D}$, $\text{E}$  et $\text{F}$  sont alignés.