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Devoir de géométrie 18-19

Les détails de calculs et de raisonnements doivent apparaître dans votre rédaction.

L'usage de la calculatrice est autorisé

Durée: 1 heure

Exercice 1

On se place dans un repère orthonormé \(({\text O} ;\vec \imath ,\vec \jmath)\) . \(\text{ABC}\)  est un triangle tel que \(\text A(3;-2)\) , \(\text B(-2 ;2)\)  et \(\text C(2 ;4)\) . On note \(\text I\) et \(\text J\)  les milieux respectifs des segments \([\text{AB}]\)  et \([\text{AC}]\) .

  1. Calculer les coordonnées des deux milieux \(\text I\)  et \(\text J\) .

  2. Le triangle \(\text{ABC}\)  est-il isocèle en \(\text A\) ?

  3. Démontrer que l'équation \(-2x-9y+14=0\)  est une équation cartésienne de la médiane \((\Delta_1)\)  issue du sommet B.

  4. De même, déterminer une équation cartésienne de la médiane \((\Delta_2)\)  issue du sommet \(\text C\) .

  5. Déterminer les coordonnées du centre de gravité \(\text G\), intersection de \((\Delta_1)\)  et de \((\Delta_2)\) .

Exercice 2

Répondre aux assertions suivantes par vrai ou faux. Justifier clairement les réponses.

  1. a. \(\text{AI}=\text{IB}\)  \(\Rightarrow\) \(\text I\)  est le milieu de \([\text{AB}]\) .

    b. \(\overrightarrow{\text{AI}}=\overrightarrow{\text{IB}}\)  \(\Rightarrow\) \(\text I\)  est le milieu de \([\text{AB}]\) .

    c. \(\overrightarrow{\text{AI}}=\overrightarrow{\text{IB}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\text I\)  est le milieu de \([\text{AB}]\) .

  2. \(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{ABDC}\) est un parallélogramme.

Exercice 3

Le plan est muni d'un repère \(({\text O} ;\vec \imath ,\vec \jmath)\) . La parabole \((\text P)\)  a pour équation \(y=x^2+6x+6\).

Sachant que \(m\)  est un réel, on appelle \((\text D_m)\) la droite d'équation \(y=mx+2\) .

  1. Déterminer \(m\)  pour que l'équation \(x^2+(6-m)x+4=0\)  admette une unique solution.

  2. En déduire la ou les valeurs de \(m\)  pour que \((\text D_m)\)  et la parabole \(\text P\)  aient exactement un point d'intersection.

  3. Déterminer les coordonnées de ce point d'intersection.

Exercice 4

Construire un triangle \(\text{ABC}\) , puis les points \(\text D\) , \(\text E\)  et \(\text F\)  tels que :

\(\overrightarrow{\text{AD}}=\frac 1 2\overrightarrow{\text{AC}}\)    et \(\overrightarrow{\text{AE}}=\frac 1 3\overrightarrow{\text{AB}}\)    et \(\overrightarrow{\text{BF}}=2\overrightarrow{\text{BC}}\) .

  1. Décomposer \(\overrightarrow{\text{DE}}\)  dans la base \((\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})\) .

  2. Décomposer \(\overrightarrow{\text{DF}}\)  dans la base \((\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})\).

  3. Démontrer que \(\text D\), \(\text E\)  et \(\text F\)  sont alignés.