Aller au contenu

Devoir sur les vecteurs et droites 16-17

Durée: 40min

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Exercice 1 : équations de droites

Soient \(\text A(-5;4)\) , \(\text B(1;-7)\)  et \(\text C(2;3)\) .

  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\text{AB})\) .

    1. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de \(\text A\) dans le triangle \(\text {ABC}\).

    2. Faire de même avec la médiane issue de \(\text B\).

    3. En déduire, par le calcul, les coordonnées du centre de gravité de \(\text {ABC}\).

  1. On a \(\overrightarrow{\text{AB}}\) \(\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)\)  donc \((\text{AB})\) : \(-11x-6y+c=0\), or \(\text A\in (\text{AB})\)  donc \(-11\times (-5)-6\times 4+c=0\) d'où \(c=31\)  Soit \((\text{AB})\) : \(-11x-6y+31=0\).

  2. a) \(\text I\)  milieu de \([\text{BC}]\): I \(\left(\dfrac 3 2\mathrm ;-2\right)\), on cherche l'équation de la droite \((\text{AI})\).

    On a \(\overrightarrow{\text{AI}}\) \(\left(\begin{matrix}\dfrac{13} 2\\-6\end{matrix}\right)\)  donc \((\text{AI})\) : \(-6x-\dfrac{13} 2y+c=0\), or \(\text A\in (\text{AI})\)  donc

    \(-6\times (-5)-\left(\dfrac{13} 2\right)\times 4+c=0\), d'où \(c=-4\)  Soit \((\text {AI})\) : \(-6x-\dfrac{13} 2y-4=0\) .

    b) \(\text J\)  milieu de \([\text{AC}]\): \(\text J\left(-\dfrac 3 2\mathrm ;\dfrac 7 2\right)\) , on cherche l'équation de la droite \((\text{BJ})\)

    On a \(\overrightarrow{\text{BJ}}\) \(\left(\begin{matrix}-\dfrac 5 2\\\dfrac{21} 2\end{matrix}\right)\) donc \((\text{BJ})\) : \(\dfrac{21} 2x+\dfrac 5 2y+c=0\), or \(\text B\in (\text{BJ})\)  donc

    \(\dfrac{21} 2\times 1-7\times \dfrac 5 2+c=0\), d'où \(c=7\)  soit \((\text {BJ})\) : \(\dfrac{21} 2x+\dfrac 5 2y+7=0\).

    c) Le centre de gravité \(\text G\)  est l'intersection des médianes, les coordonnées du point \(\text G\)  vérifient donc les équations de \((\text{AI})\) et \((\text{BJ})\):

    \(\text G(x,y)\)  vérifie le système : \(\left\{\begin{matrix}-6x-\dfrac{13} 2y-4=0\\\dfrac{21} 2x+\dfrac 5 2y+7=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}12x+13y+8=0\\21x+5y+14=0\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}84x+91y+56=0\\84x+20y+56=0\end{matrix}\right.\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}y=0\\x=-\dfrac{56}{84}=-\dfrac 2 3\end{matrix}\right.\) . \(\text G\)  a donc pour coordonnées \(\left(-\dfrac 2 3\mathrm ;0\right)\).

Exercice 2 : Vecteurs

\([\text{AB}]\) est un segment de milieu \(\text C\).

\(\text D\) et \(\text E\) sont deux points tels que \(\text{CBDE}\) est un parallélogramme.

\(\text F\) est le point tel que \(\overrightarrow{\text{EF}}=\dfrac 1 3\overrightarrow{\text{EB}}\) .

  1. Faire une figure.

  2. Démontrer que les points \(\text A\), \(\text D\) et \(\text F\) sont alignés par l'une des deux méthodes (au choix) suivantes :

    • en exprimant les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AF}}\)  et \(\overrightarrow{\text{FD}}\)  en fonction des vecteurs \(\overrightarrow{\text{ED}}\) et \(\overrightarrow{\text{BE}}\)

    ou

    • en exprimant les coordonnées des points \(\text D\), \(\text A\) et \(\text F\) dans le repère \((\text E;\overrightarrow{\text{ED}},\overrightarrow{\text{EC}})\).

\(\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CB}}+\overrightarrow{\text{BE}}+\overrightarrow{\text{EF}}\)  (Chasles)

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{\text{AF}}=2\overrightarrow{\text{ED}}+\overrightarrow{\text{BE}}+\dfrac 1 3\overrightarrow{\text{EB}}\)

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{\text{AF}}=2\overrightarrow{\text{ED}}+\dfrac 2 3\overrightarrow{\text{BE}}\)

\(\overrightarrow{\text{FD}}=\overrightarrow{\text{FE}}+\overrightarrow{\text{ED}}\)  (Chasles)

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{\text{FD}}=\overrightarrow{\text{ED}}+\dfrac 1 3\overrightarrow{\text{BE}}\)

On a \(\overrightarrow{\text{AF}}=2\overrightarrow{\text{FD}}\)  et \(\overrightarrow{\text{AF}}\)  et \(\overrightarrow{\text{FD}}\)  ont le point \(\text F\) en commun, donc \(\text A\) , \(\text F\)  et \(\text D\)  sont alignés.