Devoir Trigonométrie

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Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Durée : 45 min

Exercice 1 (3 points)

Dans cette exercice, entourer la (ou les) bonnes réponses sur le sujet et justifier en faisant un cercle à droite à compléter judicieusement.

1. Si $x\in \left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ alors

   a) $\text{cos}x⩾0$     b) $\text{cos}x⩽0$     c) $\text{sin}x⩾0$     d) $\text{sin}x⩽0$

2. Si $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};0]$ alors

   a) $\text{cos}x⩾0$     b) $\text{cos}x⩽0$     c) $\text{sin}x⩾0$     d) $\text{sin}x⩽0$

3. Si $x\in \left[\pi ;{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right]$ alors

   a) $\text{cos}x⩾0$     b) $\text{cos}x⩽0$     c) $\text{sin}x⩾0$     d) $\text{sin}x⩽0$

Exercice 2 (2,5 points)

$x$  est un réel de l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$  tel que $\text{sin}x=0,6$ .

1. Déterminer la valeur exacte de $\text{cos}x$ .

2. En déduire les valeurs exactes de $\text{cos}(x+\pi )$ , $\text{sin}(x-\pi )$  et $\text{cos}(13\pi -x)$ .

Exercice 3 (3 points)

Résoudre l'équation $\text{cos}x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ :

1. sur $[0;2\pi ]$ ;

2. sur $[-\pi ;\pi ]$ ;

3. sur $\mathbb{R}$.

Exercice 4 (1 point)

Résoudre dans $]-\pi ;\pi ]$ l'équation suivante :

$$2\text{sin}x-\sqrt{3}=0$$

Exercice 5 (2,5 points)

Cette figure est formée d'un carré $\text{ABCD}$ et d'un triangle équilatéral $\text{ABE}$ .

$\text{F}$ est le milieu de $[\text{CD}]$ . Calculer $\text{tan}{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$  en s'aidant de la figure ci-dessous.