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Petit devoir sur les Suites

L'usage de la calculatrice est obligatoire.

Durée: 45min

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer \(u_0\)  et \(u_{n+1}\)  et exprimer \(u_{n+1}\)  en fonction de \(u_n\).

a) \(u_n=3\times 4^{n-1}\)   

b) \(u_n=1+2+3+\ldots +n\)   

c) \(u_n=4n-5\)

\(u_n\) \(u_0\) \(u_{n+1}\) \(u_{n+1}\)  en fonction de \(u_n\)
\(3\times 4^{n-1}\) \(\dfrac 3 4\) \(3\times 4^n\) \(4u_n\)
\(1+2+3+\ldots +n\) \(0\) \(1+2+3+\ldots +n+n+1\) \(u_n+n+1\)
\(4n-5\) \(-5\) \(4(n+1)-5=4n-1\) \(u_n+4\)

Exercice 2 Utilisation de la calculatrice

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=5n^2+(-1)^n\times u_n\).

Déterminer \(u_{40}\).

On trouve \(u_{40}=204\)

Exercice 3

Déterminer le sens de variation des suites :

  1. \((u_n)\) définie par \(u_n=-n^2+6n+4\) .

  2. \((u_n)\) définie par \(u_n=n+\dfrac 2 n\) .

  3. \((u_n)\) définie par \(u_n=n\times \left(\dfrac 1 2\right)^n\).

  1. Soit \(f(x)=-x^2+6x+4\). On a \(-1<0\), il existe donc une valeur \(x_0\)  telle que \(f\)  est décroissante sur \([x_0\mathrm ;+\infty [\).

On calcule \(-\dfrac b{2a}=\dfrac{-6}{-2}=3\). \(f\)  est donc décroissante sur \([3\mathrm ;+\infty [\) .

Par analogie, \((u_n)\) est décroissante à partir du rang 3.

  1. \(u_n=n+\dfrac 2 n\)  et \(u_{n+1}=n+1+\dfrac 2{n+1}\)  d'où \(u_{n+1}-u_n=1+\dfrac 2{n+1}-\dfrac 2 n=\dfrac{n^2+n+2n-2n-2}{n(n+1)}=\dfrac{n^2+n-2}{n(n+1)}=\dfrac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}\).

Cette expression étant positive pour \(n\ge 1\) , \((u_n)\) est croissante à partir du rang 1.

  1. \(u_n=n\times \left(\dfrac 1 2\right)^n\)  et \(u_{n+1}=(n+1)\times \left(\dfrac 1 2\right)^{n+1}\)  d'où \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{2n}\).

On a \(u_n>0\)  pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\). On peut donc comparer le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\)  à 1:

\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1=\dfrac{n+1}{2n}-1=\dfrac{-n+1}{2n}\).

Cette quantité étant négative pour \(n\ge 1\) , on a \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le 1\) .

La suite \((u_n)\) est décroissante à partir du rang 1.

Exercice 4 Vrai ou Faux

Les réponses doivent être bien justifiées

  1. Si une suite est décroissante, alors elle n'est pas minorée.

  2. Si une suite est bornée, alors elle admet une limite finie.

  1. \(u_n=\dfrac 1 n\)  est décroissante, et est minorée par 0. L'affirmation est fausse.

  2. \(u_n=(-1)^n\) est bornée, mais n'admet pas de limite finie. L'affirmation est fausse.

Exercice 5

Soit la fonction \(f\)  : \(x \mapsto \dfrac x{x+1}\)  définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\) et \(\text C_f\)  sa courbe représentative.

Soit la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=-2\)  et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour \(n\)  dans \(\mathbb{N}\).

  1. Représenter les \(5\)  premiers termes de la suite \((u_n)\) sur le graphique ci-dessous. Laisser tous vos pointillés apparents et écrire les termes de la suite sur l'axe des abscisses.

  2. Quelles conjectures peut-on faire:

    a. sur les variations ?

    b. sur une éventuelle limite ?

  3. Question bonus : démontrer votre conjecture de la question 2.a.

  1. Construction graphique des termes de la suite \((u_n)\) :

  2. a. Il semble que la suite \((u_n)\) est décroissante à partir du rang \(1\).

    b. Il semble que la suite \((u_n)\) tend vers 0 lorsque \(n\) devient grand.

  3. Bonus.

    Vérifions que la suite \((u_n)\) est positive :

    On a \(u_1=\dfrac{-2}{-1}=2\) et le quotient de deux termes positifs \(\dfrac{u_n}{u_n+1}\)  est positif, donc \((u_n)\) positive à partir du rang 1. Par conséquent, on a \(u_n+1\ge 1\)  et \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac 1{u_n+1}\le 1\) .

    La suite \((u_n)\) est donc bien décroissante à partir du rang 1.