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Devoir sur les Suites - Généralités

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Calculatrice autorisée.

Le barème est donné à titre indicatif.

Exercice 1

On appelle \((u_n)\)  la suite définie par \(u_n=2^n-n\)

  1. Calculer les quatre premiers termes de la suite \((u_n)\).

  2. Montrer que \(u_{n+1}-u_n=2^n-1\).

    En déduire le sens de variation de \((u_n)\).

  1. \(u_0=1\) ; \(u_1=1\) ; \(u_2=2\) ; \(u_3=5\)

  2. \(u_{n+1}-u_n=2^{n+1}-(n+1)-2^n+n\) \(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n=2^{n+1}-2^n-1\) \(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n=2^n(2-1)-1\)

    \(u_{n+1}-u_n=2^n-1\). Or \(2^n-1\geqslant 0\)  \(\Leftrightarrow\) \(n\geqslant 0\)  d'où \(u_{n+1}-u_n\geqslant 0\) pour \(n \in \mathbb{N}\) .

    \((u_n)\) est donc croissante.

Exercice 2

La suite \((u_n)\)  est définie, pour tout entier naturel n non nul, par \(u_n=\dfrac{(\sqrt 2)^n}{n^2}\) .

  1. Compléter le tableau suivant à l'aide de la calculatrice, en donnant des valeurs approchées à \(10^{-2}\)  près.

    n 1 2 3 4 5 6
    \(u_n\)

  2. Que pouvez-vous conjecturer concernant le sens de variation de la suite \((u_n)\)  ?

  3. Calculer \(u_7\). Que constatez-vous ?

  4. Étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\)

  1. Tableau de valeurs

    n 1 2 3 4 5 6
    \(u_n\) 1,41 0,5 0,31 0,25 0,23 0,22

  2. Il semble que la suite \((u_n)\) soit décroissante.

  3. \(u_7{\approx}0,23\). On constate que \(u_7>u_6\).

  4. \(u_n>0\) , on a \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\sqrt 2\times n^2}{(n+1)^2}\)

    On compare cette quantité à 1: \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1=\dfrac{\sqrt 2\times n^2-(n+1)^2}{(n+1)^2}=\dfrac{(\sqrt 2-1)n^2-2n-1}{(n+1)^2}\)

    Le numérateur est un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\):

    \(\Delta=4+4(\sqrt 2-1)=4\sqrt 2\)  \(\Rightarrow\) \(n_1=\dfrac{2-2\sqrt{\sqrt 2}}{2(\sqrt 2-1)}\) et \(n_2=\dfrac{2+2\sqrt{\sqrt 2}}{2(\sqrt 2-1)}{\approx}5,29\).

    Le trinôme est positif \((\sqrt 2-1>0)\) pour \(n>n_2\) , donc à partir de \(n=6\) , on a \((u_n)\) croissante.

Exercice 3

\((u_n)\) est la suite définie par \(u_0=\dfrac 3 4\)  et, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_{n+1}=(u_n)^2\).

  1. Dans un repère orthonormé \((\mathrm{\text O}\mathrm ;\vec{\imath},\vec{\jmath})\)  (unité de longueur 10 cm), tracer la courbe représentative de la fonction \(f\): \(x \mapsto x^2\), puis construire sur l'axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite \((u_n)\) .

  2. Quels semblent être le sens de variation de \((u_n)\) et la limite de \((u_n)\)  ?

  3. Montrer que, pour tout réel \(x\) de \(]0\mathrm ;1[\), \(0<x^2<x<1\).

  4. En déduire le sens de variation de \((u_n)\).

  1. Graphique

  2. La suite \((u_n)\) semble décroissante et converger vers 0.

  3. \(x^2-x=x(x-1)\)  pour \(x\in ]0\mathrm ;1[\) , on a \(x>0\)  et \(x-1<0 \Rightarrow\) \(x(x-1)<0 \Rightarrow x^2-x<0 \Rightarrow x^2<x\)

    Par conséquent \(0<x^2<x<1\).

  4. D'après 3) \(0<u_n<1 \Rightarrow 0<u_n^2<u_n<1\). D'où \(u_{n+1}<u_n\) et \((u_n)\) décroissante.

Vrai ou Faux

Justifier soigneusement et efficacement.

  1. Une suite \((v_n)\)  qui vérifie pour tout \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}<1\) est strictement décroissante.

  2. Une suite qui converge vers 0 est nécessairement décroissante.

  3. La suite \((u_n)\) définie par \(u_n=(-1)^n\) a pour limites \(-1\) et \(1\) .

  4. Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) , et, pour tout entier naturel non nul, \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{u_n-1}\) .

    1. La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

    2. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) est positif.

    3. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+2}=u_n\) .

  1. Faux, on doit aussi avoir \((v_n)\) positive pour que l'affirmation soit vraie.

  2. Faux, \(\dfrac{(-1)^n} n\) tend vers 0 mais n'est ni croissante ni décroissante.

  3. Faux, \((u_n)\) a une infinité de valeurs qui valent \(-1\) et autant qui valent 1 et \(-1{\neq}1\). Ni \(-1\), ni \(1\)  ne sont donc des limites de \((u_n)\).

  4. a) \(u_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}+2}{u_{n+1}-1}=\dfrac{\dfrac{u_n+2}{u_n-1}+2}{\dfrac{u_n+2}{u_n-1}-1}=\dfrac{\dfrac{u_n+2+2u_n-2}{u_n-1}}{\dfrac{u_n+2-u_n+1}{u_n-1}}=\dfrac{\dfrac{3u_n}{u_n-1}}{\dfrac 3{u_n-1}}=u_n\). On calcule \(u_1=4\) . D'où:

    \(u_n=2\) pour \(n\) pair et \(u_n=4\) pour \(n\) impair.

    Faux, la suite n'est pas décroissante strictement.

    b) Vrai, d'après a), \(u_n\)  est toujours positif.

    c) Vrai, d'après a), \(u_{n+2}=u_n\) .