Des suites et une pincée de fonctions

L'usage de la calculatrice est obligatoire.

Durée: 1h55

Exercice 1

SujetCorrigé

Dans chacun des cas, déterminer $u_0$  ou $u_1$  ( si la suite n'est définie que pour $n>0$ ) et exprimer $u_{n+1}$  en fonction de $u_n$.

1. $u_n=4\times 3^{n-3}$   
2. $u_n=1\times 2\times 3\times \dots \times n$   
3. $u_n=2n-3$

1. $u_n=4\times 3^{n-3}=4\times 3^{-3}\times 3^n={\displaystyle \frac{4}{27}}\times 3^n$ s'écrit sous la forme d'une suite géométrique de raison 3.

   D'où $u_{n+1}=3u_n$ .

2. $u_n=1\times 2\times 3\times \dots \times n$  donc $u_{n+1}=1\times 2\times 3\times \dots \times n\times (n+1)$ , d'où $u_{n+1}=(n+1)u_n$ .

3. $u_n=2n-3=-3+2n$  s'écrit sous la forme d'une suite arithmétique de raison 2.

   D'où $u_{n+1}=u_n+2$ .

Exercice 2

SujetCorrigé

Soit $(u_n)$  la suite définie par $u_n={\displaystyle \frac{3+\text{sin}n}{4-\text{sin}n}}$.

Indiquer si la suite est minorée, majorée ou bornée.

On a $-1⩽\text{sin}n⩽1$  donc $2⩽3+\text{sin}n⩽4$ et $3⩽4-\text{sin}n⩽5$  $\Rightarrow$ ${\displaystyle \frac{1}{5}}⩽{\displaystyle \frac{1}{4-\text{sin}n}}⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}$  (décroissance de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ )

D'où ${\displaystyle \frac{2}{5}}⩽{\displaystyle \frac{3+\text{sin}n}{4-\text{sin}n}}⩽{\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Conclusion: $(u_n)$  est minorée par ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ , majorée par ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ et donc bornée.

Exercice 3 Utilisation de la calculatrice

SujetCorrigé

Soit $(u_n)$  la suite définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=5n^2+(-1{)}^n\times u_n$

Déterminer $u_{50}$.

Avec une habile utilisation de la calculatrice, on trouve $u_{50}=241$ .

Exercice 4

SujetCorrigé

Représenter ci-dessous en abscisse les 6 premiers termes de la suite $(u_n)$  définie par $\{\begin{array}{c}{u}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{u_n+1}}\\ u_0=2\end{array}$.

Exercice 5

SujetCorrigé

Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$  définie par $u_n=n\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$.

$u_n=n\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$ . Les termes de cette suite étant strictement positifs pour $n>0$ , on calcule:

${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{n+1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}$  or ${\displaystyle \frac{1}{2n}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$  pour $n>1$  d'où ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}<1$  et $(u_n)$  décroissante.

Exercice 6

SujetCorrigé

Martin a le projet de partir 6 mois en voyage à la recherche de bons spots de surf. Pour cela, il souhaite acquérir un van et l'aménager.

Il estime le coût final de son véhicule à 15 000€.

Le 1er janvier 2014, il dépose 6 000€ sur un compte-épargne à intérêts composés rémunéré à 2,5 % par an. Il décide de plus de s'astreindre à déposer chaque 1er janvier des années suivantes 800€ sur ce compte.

On pose $u_n$  la somme disponible sur son compte le 1er janvier de l'année $2014+n$ . Les résultats seront, au besoin, arrondis au centime d'euro.

1. Justifier que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $u_{n+1}=1,025u_n+800$.

2. La suite $(u_n)$  est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier.

3. Soit $(v_n)$  la suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$  par $v_n=u_n+32000$ .

   a. Démontrer que la suite $(v_n)$  est géométrique ; on précisera la raison et le premier terme.

   b. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$  en fonction de $n$ .

4. On suppose pour la suite que $u_n=38000\times 1,{025}^n-32000$ .

   a. Étudier les variations de $(u_n)$ .

   b. Déterminer à quelle date il pourra partir.

5. On souhaite écrire un algorithme affichant pour tout entier naturel $n$  donné, tous les termes de la suite du rang $0$  au rang $n$ .

   Parmi les 3 algorithmes suivants, lequel convient ?

   On indiquera pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

   

1. Multiplier par 1,025 c'est multiplier par $1+{\displaystyle \frac{2,5}{100}}$ , ce qui correspond à des intérêts composés de 2,5%. L'ajout de 800€ correspond à la somme déposée chaque 1ier janvier.

2. On a $u_0=6000$ , $u_1=6950$ , $u_2=7923,75$.

   $u_1-u_0\ne u_2-u_1$  donc $(u_n)$  n'est pas une suite arithmétique.

   ${\displaystyle \frac{u_1}{u_0}}\ne {\displaystyle \frac{u_2}{u_1}}$  donc $(u_n)$  n'est pas une suite géométrique.

3. a. $v_n=u_n+32000$    $\Rightarrow$ $v_{n+1}=u_{n+1}+32000$  

   $\Rightarrow$ $v_{n+1}=1,025u_n+800+32000$

   $\Rightarrow$ $v_{n+1}=1,025u_n+32800$

   $\Rightarrow$ $v_{n+1}=1,025(u_n+32000)$

   $\Rightarrow$ $v_{n+1}=1,025v_n$

   $(v_n)$  est donc une suite géométrique de raison 1,025 et de premier terme $v_0=u_0+32000=6000+32000=38000$

   b. Avec ce qui précède, $v_n=38000\times 1,{025}^n$  et $u_n=v_n-32000=38000\times 1,{025}^n-32000$

4. a. $u_{n+1}-u_n=38000\times (1,{025}^{n+1}-1,{025}^n)$  soit $u_{n+1}-u_n=38000\times 1,{025}^n\times 0,025$.

   Cette quantité étant strictement positive, $(u_n)$  est une suite strictement croissante.

   b. Avec la calculatrice, à partir de $n=9$ . Il pourra donc partir le 1ier Janvier 2023.

5. L'algorithme 3 convient tout à fait.

   Dans l'algorithme 2, on calcule les termes de la suite $(v_n)$, alors que dans l'algorithme 3 on affiche uniquement le dernier terme calculé.

Exercice 7

SujetCorrigé

Soit les suites $(u_n)$  et $(v_n)$  définies par $v_n=-\frac{1}{2^n}$ et $u_n=v_n+6n$ .

Calculer $S=\sum _{\text{i}=0}^{\text{i}=20}{v}_{\text{i}}$ et $T=\sum _{\text{i}=0}^{\text{i}=20}{u}_{\text{i}}$.

$v_n$  peut être récrite sous la forme $v_n=-1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$ , $(v_n)$  est donc une suite géométrique de premier terme $v_0=-1$  et de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ .

D'où $\text{S}=v_0\times {\displaystyle \frac{1-{{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{20+1}}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$. Soit $\text{S}=-2\times (1-{\displaystyle \frac{1}{2^{21}}})$

T= $\sum _{\text{i}=0}^{\text{i}=20}(v_{\text{i}}+6\text{i})$ = $\sum _{\text{i}=0}^{\text{i}=20}{v}_{\text{i}}$ + $6\times \sum _{\text{i}=0}^{\text{i}=20}\text{i}$ = $\text{S}+6\times {\displaystyle \frac{20\times (20+1)}{2}}$ = $1260-2\times (1-{\displaystyle \frac{1}{2^{21}}})$

Exercice 8

SujetCorrigé

Soit $f$  la fonction définie par $f(x)=\frac{x-2}{2x^2-5x+4}$ .

1. Déterminer $\text{D}$ , l'ensemble de définition de $f$ .

2. Étudier les variations de $f$  et dresser son tableau de variation en y indiquant les valeurs extrêmes.

1. $2x^2-5x+4$  est un trinôme du second degré, calculons son discriminant $\mathrm{\Delta }$:

   $\mathrm{\Delta }=25-32=-7$ Ce discriminant étant négatif, le dénominateur de $f$  ne s'annule pas et donc $\text{D}=\mathbb{R}$ .

2. $f$  est dérivable sur $\mathbb{R}$ car fonction rationnelle et $\text{D}=\mathbb{R}$ .

   f est de la forme ${\displaystyle \frac{u}{v}}$  avec   $u(x)=x-2$ , $u^{\prime }(x)=1$ , $v(x)=2x^2-5x+4$ ,  $v^{\prime }(x)=4x-5$

   D'où:

   $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x^2-5x+4-(x-2)(4x-5)}{(2x^2-5x+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-2x^2+8x-6}{(2x^2-5x+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-2(x^2-4x+3)}{(2x^2-5x+4{)}^2}}$

   Or $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ .

   On obtient le tableau de signe:

   

   Et celui de variations: