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Devoir Nombre dérivé 17-18

L'usage de la calculatrice, contrairement à celui de la fonction dérivée, est autorisé.

Durée: 55 min

Exercice 1

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-5x+2\).

On appelle \(\text{C}_f\) sa courbe représentative.

  1. a) Montrer que le taux de variation de \(f\) entre \(3\) et \(3+h\) vaut \(T(h)=h+1\).

    b) En déduire la valeur du nombre dérivé \(f'(3)\).

  2. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe \(\text{C}_f\) au point \(\text{A}\) d’abscisse \(3\).

Exercice 2

Soit \(f(x)=(x-1)\sqrt{1-x^2}\).

  1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\).

  2. Etudier la dérivabilité de \(f\) en \(-1\).

Exercice 3

On donne ci-dessous un tracé de la courbe représentative \(\text{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \([-1;3]\).

La droite \(\text{T}\) tracée est la tangente à \(\text{C}_f\) au point d’abscisse \(1\).

Aux points d’abscisses \(0\) et \(2\) les tangentes à \(\text{C}_f\) sont parallèles à l’axe des abscisses.

  1. Déterminer, à l’aide du graphique, les valeurs de \(f'(0)\), \(f'(1)\) et \(f'(2)\).

  2. En déduire les équations réduites des tangentes à \(\text{C}_f\) aux points d’abscisses \(0\) ; \(1\) et \(2\).

Exercice 4

Montrer que la tangente à la courbe \(\text{C}\) d'équation \(y=-x^4+2x^2+x\) au point \(\text{A}(-1;0)\) est aussi tangente à \(\text{C}\) en un autre point que l'on précisera.

Exercice 1

  1. a. Soit \(h>0\)

    \(\text{T}(h)=\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{(3+h)^2-5(3+h)+2-(-4)}{h}=\dfrac{h^2+6h+9-15-5h+6}{h}=\dfrac{h^2+h}{h}=h+1\)

    b. Lorsque \(h\) tend vers 0, \(h+1\) tend vers \(1\) , donc \(f'(3)=1\)

  2. L'Ă©quation d'une tangente en \(\text A\) Ă  \(\text C_f\) s'Ă©crit: \(y=f'(3)(x-3)+f(3)\)

    Soit \(y=x-7\)

Exercice 2

  1. \(f\)  est définie pour \(1-x^2\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2\leqslant 1 \Leftrightarrow x\in[-1;1]\)

  2. Soit \(h>0\) . \(\text T(h)=\dfrac{f(-1+h)-f(-1)} h=\dfrac{(-2+h)\sqrt{2h-h^2}-0} h=(-2+h)\sqrt{\dfrac 2 h-1}\)

    Lorsque \(h\)  tend vers 0, \(\dfrac 2 h\)  tend vers \(+\infty\)  et \((-2+h)\)  tend vers \(-2\) .

    Donc \(\text T(h)\)  tend vers \(-\infty\) . La fonction \(f\)  n'est donc pas dérivable en \(-1\) .

Exercice 3

  1. \(f'(0)=0\) , \(f'(1)=-3\)  et \(f'(2)=0\)

  2. \(\text T_0\)  : \(y=1\)     \(\text T_1\)  : \(y=-3x+2\)  (L'ordonnée à l'origine est 2) et \(\text T_2\)  : \(y=-3\) .

Exercice 4

  1. Déterminons le nombre dérivé de \(f(x)=-x^4+2x^2+x\)  en \(-1\) :

    \(\text T(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)} h=\dfrac{-(a+h)^4+2(a+h)^2+(a+h)-(-a^4+2a^2+a)} h\)

    On développe: \((a+h)^2=a^2+2\mathit{ah}+h^2\)  soit \(2(a+h)^2=2a^2+4\mathit{ah}+2h^2\)

    \((a+h)^4=(a^2+2\mathit{ah}+h^2)^2=a^4+4a^3h+6a^2h^2+4\mathit{ah}^3+h^4\) soit \(-(a+h)^4=-a^4-4a^3h-6a^2h^2-4\mathit{ah}^3-h^4\)

    D'oĂč

    \(\text T(h)=\dfrac{-h^4-4\mathit{ah}^3+h^2(-6a^2+2)+h(-4a^3+4a+1)} h=-h^3-4\mathit{ah}^2+h(-6a^2+2)-4a^3+4a+1\)

    Lorsque \(h\)  tend vers \(0\) , \(\text T(h)\)  tend vers \(-4a^3+4a+1\) .

    La tangente en \(-1\)  a donc pour coefficient directeur 1.

    Pour déterminer les points pour lesquels la tangente a pour coefficient directeur \(1\), on résout:

    \(-4a^3+4a+1=1 \Leftrightarrow -a^3+a=0 \Leftrightarrow -a(a^2-1)=0 \Leftrightarrow a\) vaut \(-1,0,1\) .

    On cherche les intersections de la tangente en \(\text{A}\) avec la courbe \(\text C_f\) .

    \(-x^4+2x^2+x=x+1 \Leftrightarrow -x^4+2x^2-1=0 \Leftrightarrow x^4-2x^2+1=0 \Leftrightarrow (x^2-1)^2=0 \Leftrightarrow x=-1\) ou \(x=1\) .

    Le seul point qui convient est donc le point de coordonnées \(\left(-1\mathrm ;f(-1)\right)\)  soit \(\text B(-1;0)\) .

    On peut aussi chercher les intersections de la tangente en \(\text A\)  à \(\text C_f\)  avec \(\text C_f\)  et vérifier qu'au point d'abscisse \(-1\)  la tangente a bien un coefficient directeur de \(1\).