Devoir sur les fonctions dérivées 17-18
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Attention à bien soigner la rédaction et les justifications.
Durée: 1h
Exercice 1
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)\{3} par:
On appelle \(\text C\) sa courbe représentative.
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On admet que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\)\{3} et on nomme \(f'\) sa fonction dérivée.
(a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}\).
(b) Déterminer le tableau des variations de \(f\) en justifiant.
\(\quad\) On calculera les valeurs exactes des extremums.
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Déterminer les coordonnées des éventuels points de la courbe où la tangente à \(\text C\) est parallèle à l'axe des abscisses.
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La droite \(\text D\) est d'équation réduite \(y=x-1\) .
(a) Déterminer les abscisses des éventuels points de la courbe où la tangente à \(\text C\) est parallèle à \(\text D\) .
(b) Déterminer les positions relatives de \(\text C\) et \(\text D\) selon les valeurs de \(x\).
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\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\)\{3}, donc pour tout \(x \in \mathbb{R}\)\{3}:
(a) \(f\) est de la forme \(\dfrac u v\) avec \(u(x)=x^2-4x+4\),\(\quad v(x)=x-3\),\(\quad u'(x)=2x-4\) et \(v'(x)=1\) .
D'où \(f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\)
\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(2x-4)(x-3)-(x^2-4x+4)}{(x-3)^2}\)
\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{2x^2-10x+12-x^2+4x-4}{(x-3)^2}\)
\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}\)
(b) On a \((x-3)^2>0\) sur \(\mathbb{R}\)\{3}. \(x^2-6x+8\) est un trinôme du second degré, cherchons son discriminant \(\Delta\):
\(\Delta=36-32=4\) \(\Rightarrow\) \(x_1=\dfrac{6-2} 2=2\) et \(x_2=\dfrac{6+2} 2=4\) .
on a donc le tableau de signe et de variations:
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D'après le tableau des variations de \(f\) , on deux points pour lesquels les tangentes sont parallèles à l'axe des abscisses: \((2;0)\) et \((4;4)\) .
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(a) Si une tangente est parallèle à la droite \(\text D\) en un point d'abscisse \(x_0\) alors, en ce point, on a \(f'(x_0)=1 \Leftrightarrow \dfrac{x_0^2-6x_0+8}{(x_0-3)^2}=1\)
\(\Leftrightarrow x_0^2-6x_0+8=(x_0-3)^2\)
\(\Leftrightarrow x_0^2-6x_0+8=(x_0-3)^2\) avec \(x_0\neq 3\) \(\Leftrightarrow\) \(8=9\).
Il n'existe donc pas de point de la courbe \(\text C\) qui admette une tangente parallèle à \(\text D\) .
(b) \(\dfrac{x^2-4x+4}{x-3}\geqslant x-1 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-4x+4-(x-1)(x-3)}{x-3}\geqslant 0\)
\(\Leftrightarrow \dfrac 1{x-3}\geqslant 0 \Leftrightarrow\) \(x-3\geqslant 0\)
On a donc \(\text C\) au-dessus de \(\text D\) pour \(x>3\) et \(\text C\) en dessous de \(\text D\) pour \(x<3\).
Exercice 2
Un éditeur doit produire un livre avec les contraintes suivantes :
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Sur chaque page, le texte imprimé doit être contenu dans un rectangle de \(300 \text{cm}^2\);
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Les marges gauche et droite doivent mesurer 1,5cm alors que les marges haut et bas doivent mesurer 2 cm.
Le but de l'exercice est de déterminer quelles doivent être les dimensions de la page pour que la consommation de papier soit minimale.
On note \(x\) et \(y\) les dimensions de la page et \(\text S(x)=xy\) la surface de la page.
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À l'aide des données de l'énoncé, démontrer que:
\[y=\dfrac{288+3x}{x-4}\] -
En déduire une expression de \(\text S(x)\) uniquement en fonction de \(x\) et préciser son ensemble de définition.
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Après avoir étudié \(\text S\), répondre au problème posé.
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D'après le dessin, on a \({xy}=300+3x+(y-3)\times 4 \Rightarrow {xy}-4y=300+3x-12\)
\(\Rightarrow y(x-4)=288+3x \Rightarrow y=\dfrac{288+3x}{x-4}\)
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D'après 1. \(\text S(x)={xy}=\dfrac{288x+3x^2}{x-4}\) sur \(\mathbb{R}\)\{4}
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\(\text S\) est un quotient de fonctions dérivables donc est dérivable sur \(\mathbb{R}\)\{4}.
Pour tout \(x\) \({\in}\mathbb{R}\)\{4}, on a \(f'(x)=\dfrac{(288+6x)(x-4)-(288x+3x^2)(1)}{(x-4)^2}\)
\(f'(x)=\dfrac{3(x^2-8x-384)}{(x-4)^2}\) .
On a \((x-4)^2>0\) sur \(\mathbb{R}\)\{4}, f'(x) est donc du signe de \(x^2-8x-384\) , c'est un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\): \(\Delta=64+4\times 384=1600=40^2\) .
D'où \(x_1=\dfrac{8-40} 2=-16\) et \(x_2=\dfrac{8+40} 2=24\) , avec \(a>0\) on obtient le tableau des variations de \(f\) :
D'après le tableau des variations de \(f\) , S est minimale pour \(x=24\), et donc pour \(y=\dfrac{288+3\times 24}{24-4}=\dfrac{360}{20}=18\) .
Pour avoir une consommation minimale de papier, on prendra donc une hauteur de 24cm et une largeur de 18cm pour le livre.
Exercice 3
Le graphique ci-dessus suggère que la droite \(\text D\) est située en dessous de la courbe \(\text C\) , d'équation:
Qu'en est-il exactement ?
La droite passe par les points \(\text A(0;-1)\) et \(\text B\left(\dfrac 5 2;2\right)\)
D'où la droite \((\text{AB})\) a pour équation \(y=ax-1\) avec \(a=\dfrac{y_{\text B}-y_{\text A}}{x_{\text B}-x_{\text A}}=\dfrac 3{\frac 5 2}=\dfrac 6 5\) soit \((\text{AB})\): \(y=\dfrac 6 5x-1\)
Pour connaître la position relative de \(\text D\) et \(\text C\) , on étudie \(\delta(x)=\dfrac 1 4x^3-\left(\dfrac 6 5x-1\right)=\dfrac 1 4x^3-\dfrac 6 5x+1\).
Cette fonction est polynomiale, donc dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a donc \({\delta}'(x)=\dfrac 3 4x^2-\dfrac 6 5=\dfrac 3 4(x^2-\dfrac 8 5)=\dfrac 3 4\left(x-\dfrac{2\sqrt{10}} 5\right)\left(x+\dfrac{2\sqrt{10}} 5\right)\).
On a \(\delta\left(\dfrac{2\sqrt{10}} 5\right){\approx}-0,012\).
D'après le tableau des variations de \(\delta\) , il existe un intervalle sur lequel \(D\) est en dessous de \(C\).