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Devoir sur la dérivation 14-15

Le barème est donné à titre indicatif

L'usage de la calculatrice est autorisé

Durée: 2 h

Exercice 1: (2 points)

Soit \(u\)  une fonction définie sur un intervalle \(I\) .

a. Quelles sont les conditions nécessaires pour que la fonction \(\dfrac 1 u\)  soit dérivable sur \(I\) ?

b. Dans ces conditions, donner, en justifiant, l'expression de sa dérivée sur \(I\).

Voir le cours.

Exercice 2 (6 points)

Soit la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{3-x}{1-2x}\) . On note \(C_f\) la courbe représentative de \(f\)  dans un repère orthogonal \(({\text O} ;\vec {\imath} ,\vec {\jmath})\) d'unité \(2\)  cm sur \((Ox)\)  et \(20\)  cm sur \((Oy)\) .

  1. a. Déterminer l'ensemble de dérivabilité \(D_{f'}\) .

    b. Calculer \(f'(x).\)

    c. Donner le tableau des variations de \(f\)  sur \(D_{f'}\) .

  2. a. Déterminer l'équation de la tangente \((d)\)  à \(C_f\)   en \(x=4\) .

    b. Tracer la droite \((d)\)  et la courbe \(C_f\) sur \([3\mathrm ;5]\) .

    c. En déduire un encadrement de l'aire du domaine défini par la courbe \(C_f\) , l'axe \((\mathit{Ox})\)  et les droites verticales d'équations \(x=3\)  et \(x=5\) . Détaillez votre raisonnement.

    Indice: utiliser l'aire d'un trapèze rectangle et celle d'un triangle rectangle.

  1. a. Il faut que \(1-2x{\neq}0\)  soit \(x{\neq}\dfrac 1 2\)  et que les fonctions \(x \mapsto 3-x\)  et \(x \mapsto 1-2x\)  soient dérivables sur \(\mathbb{R}-\{\dfrac 1 2\}\)  ce qui est vrai car elles sont toutes deux affines.

    Donc, par quotient, \(f\)  est  dérivable sur \(D_{f'}=\left]-\infty ;\dfrac 1 2\right[{\cup}\left]\dfrac 1 2;+\infty \right[\) .

    b. \(f'(x)=\dfrac{(3-x)'(1-2x)-(3-x)(1-2x)'}{(1-2x)^2}=\dfrac{-(1-2x)+2(3-x)}{(1-2x)^2}\)

    \(f'(x)=\dfrac{-1+2x+6-2x}{(1-2x)^2}\)  soit \(f'(x)=\dfrac 5{(1-2x)^2}\)  sur \(D_{f'}\) .

    c. \((1-2x)^2\geqslant 0\)  et \(5>0\)  donc par quotient \(f'(x)\geqslant 0\) . On a donc le tableau:

  2. a. \(y=f'(4)(x-4)+f(4)\)  avec \(f(4)=\dfrac{-1}{-7}=\dfrac 1 7\)  et \(f'(4)=\dfrac 5{7^2}=\dfrac 5{49}\)  ce qui donne \(y=\dfrac 5{49}(x-4)+\dfrac 1 7=\dfrac 5{49}\times x+\dfrac{-20+7}{49}\)  soit \(y=\dfrac 5 {49}x-\dfrac{13}{49}\)  est l'équation réduite de \((d)\) .

    b. \((d)\)  et la courbe \(C_f\)   sur \([2;6]\).

    c. L'aire du domaine défini par \(C_f\) , l'axe \(({Ox})\)  et les abscisses \(x=3\)  et \(x=5\)  est minorée par l'aire de \(\text{BCF}\)  rectangle en \(F\)  et majorée par l'aire du trapèze \(\text{DBFE}\)  rectangle.

    \(A(\text{BCF})=\dfrac{\text{BF}\times \text{FC}} 2=\dfrac{2\times f(5)} 2=\dfrac{2\times \dfrac{-2}{-9}} 2=\dfrac 2 9\) Et \(A(\text{DBFE})=\dfrac{h(\text{DB}+\text{EF})} 2=\dfrac{2(y(3)+y(5))} 2=y(3)+y(5)=\dfrac{15}{49}+\dfrac{25}{49}-\dfrac{2\times 13}{47}=\dfrac{40}{49}-\dfrac{26}{49}=\dfrac{14}{49}=\dfrac 2 7\) ce qui donne l'encadrement : \(\dfrac 2 9<\text{Aire}<\dfrac 2 7\) .

Exercice 3 (7 points)

Lors d'une épidémie observée sur une période de \(11\)  jours, un institut de veille sanitaire a modélisé le nombre de personnes malades. La durée, écoulée à partir du début de la période et exprimée en jours, est notée \(t\).  Le nombre de cas en fonction de la durée \(t\) est donné, en milliers, par la fonction \(f\)  de la variable réelle \(t\) définie et dérivable sur l'intervalle \([0;11]\) . La représentation graphique \(C_f\)  de \(f\)  est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal.

Partie A : Étude graphique

Les points \(A\) , \(B\) , \(C\)  et \(D\)  ont pour coordonnées respectives

\((10;112,5)\) ; \((10,5;118,125)\);\((10;162,5)\)  et \((4;149)\)

  1. La situation est grave lorsque le nombre de cas est d'au moins \(150000\)  malades. Estimer cette période en jours complets.

  2. La droite \((\mathit{OA})\)  est tangente à la courbe \(C_f\)  au point d'abscisse \(0\) .

    Déterminer \(f'(0),\)  où \(f'\)  désigne la fonction dérivée de la fonction \(f\).

  3. \(f'(t)\) représente la vitesse d'évolution de la maladie, \(t\) jours après l'apparition des premiers cas.

    a. Déterminer le nombre maximal de malades sur la période observée. Que peut-on dire alors de la vitesse d'évolution de la maladie ?

    b. Déterminer à quel moment de l'épidémie la maladie progresse le plus ?

  4. La fonction \(f\)  est définie par \(f(t)=at^3+bt²+ct\)  où \(a\) , \(b\) et \(c\)  sont des réels.

    a. Calculer \(f'(t)\) .

    b. Déterminer \(a\), \(b\) et \(c\) .

Partie B :Étude théorique

On considère la fonction \(f\)  définie par:

\[f(x)=-x^3+\dfrac{21} 2x^2+\dfrac{45} 4x\]

  1. Donner le tableau des variations de la fonction \(f\)  sur l'intervalle \([0;11]\)

  2. Retrouver les résultats de la question \(3\)  de la partie \(A\).

Partie A

  1. D'après le graphique, la situation est grave pendant environ 6 jours.

  2. \(f'(0)\)  est le coefficient directeur de la tangente à \(C_f\)  en \(O\) , calculons donc le coefficient directeur de \((\mathit{OA})\) . \(f'(0)=\dfrac{y_B-y_O}{x_B-x_O}=\dfrac{118.25}{10.5}=11.25=\dfrac{45} 4\) .

  3. a) Le nombre maximal de malades est d'environ 250000, ce nombre est atteint à la moitié du huitième jour de l'épidémie (à Midi !). La tangente à \(C_f\)  semblant horizontale autour de cet instant, la vitesse d'évolution est nulle.

    b) Si par progression on entend une augmentation du nombre de cas, il semblerait qu'à la fin du quatrième jour la progression soit la plus forte, en effet c'est à ce moment qu'on observe la plus grande pente (positive) pour la tangente à \(C_f\) .

  4. a) \(f\)  est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition. On a \(f'(t)=3at^2+2bt+c\)

    b) Il vient immédiatement \(f'(0)=c=11.25\)  d'après le 2).

    On a \(\left\{\begin{matrix}f(4)=149\\f(10)=162.5\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}a\times 4^3+b4^2+11.25\times 4=149\\1000a+100b+11.25\times 10=162.5\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}64a+16b=104\\1000a+100b=50\end{matrix}\right.\) .

    En simplifiant on obtient le système \(\left\{\begin{matrix}8a+2b=13\\20a+2b=1\end{matrix}\right.\)  qui donne \(\left\{\begin{matrix}a=-1\\b=\dfrac{21} 2\end{matrix}\right.\) .

    D'où \(a=-1\)  ; \(b=\dfrac{21} 2\)  et \(c=\dfrac{45} 4\) .

Partie B

  1. \(f\)  toujours dérivable sur \([0\mathrm ;11]\) . \(f'(x)=-3x^2+21x+\dfrac{45} 4\) .

    Cette fonction dérivée est un trinôme du second degré, calculons ses racines avec la méthode du discriminant. \(\Delta=21^2+3\times 45=576=24^2\)

    D'où \(x_1=\dfrac{-21-24}{-6}=\dfrac{15} 2\)  et \(x_2=-\dfrac 1 2\) . \(f'\)  étant du signe de -(-3) entre les racines, on obtient le tableau de signes et de variations:

  2. Sur le tableau ci-dessus on lit que le nombre maximal de malades est atteint au bout de 7 jours et demi et qu'il est de 253125.

    Pour déterminer le moment où l'épidémie progresse le plus (le maximum de la progression), il faut déterminer la valeur de \(x\) pour laquelle la dérivée est la plus grande.

    Pour cela, on calcule la dérivée de la dérivée.

    \(f''(x)=-6x+21\) , cette dérivée s'annulant en \(\dfrac 7 2\) et changeant de signe en cette valeur, on peut affirmer que la progression est la plus forte au bout de trois jours et demi.

Exercice 4 Vrai ou Faux (5 points)

Une réponse non justifiée ne sera pas évaluée.

  1. Il existe une infinité de fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) ayant pour fonctions dérivées \(f\)  telle que \(f(x)=-5\) .

  2. Soient f et g des fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f(x)=(x-1)^2(x-2)\)  et \(g(x)=(x-1)(x-2)^2\) . Il existe \(a{\in}\mathbb{R}\) tel que les tangentes en \(a\)  aux courbes \(C_g\) et \(C_f\) sont parallèles.

  3. Si \(f\) est dérivable en \(a\) telle que \(f'(a)=0\) alors \(f\)  admet un extremum en \(a\).

  4. Il existe au moins deux fonctions qui admettent un minimum en \(0\) et qui ne sont pas dérivables en \(0\).

  5. La courbe représentative de \(f'\)  est donnée à droite. Parmi les \(3\) propositions ci-dessous, c'est la numéro qui correspond \(3\)  à la représentation de \(f\).

  1. Toutes les fonctions \(F(x)=-5x+C\)  avec \(C\)  constante réelle admettent pour fonction dérivée \(f(x)=-5\) . Cette famille comprend donc autant de fonctions qu'il existe de valeurs réelles. L'affirmation est VRAIE.

  2. \(f\)  et \(g\)  sont deux fonctions polynomes, elles sont donc dérivables.

    \(f(x)=x^3-4x^2+5x-2\)  \(\Rightarrow\) \(f'(x)=3x^2-8x+5\).

    \(g(x)=x^3-5x^2+8x-4\)  \(\Rightarrow\) \(g'(x)=3x^2-10x+8\)

    Si \(C_f\)  et \(C_g\)  admettent des tangentes parallèles en \(a\), alors on a \(f'(a)=g'(a)\) .

    \(f'(a)=g'(a) \Leftrightarrow -8a+5=-10a+8 \Leftrightarrow a=\dfrac 3 2\).

    L'affirmation est VRAIE.

  3. Contre-exemple: la fonction \(x \mapsto x^3\)  a une dérivée qui s'annule en \(0\) , mais elle n'admet pas d'extremum en 0.

    L'affirmation est FAUSSE.

  4. \(x \mapsto \left|x\right|\)  et \(x \mapsto\sqrt x\)  répondent aux conditions données.

    L'affirmation est donc VRAIE

  5. D'après le graphique de la fonction \(f'\) , \(f\)  est croissante pour \(x\leqslant -1\) , décroissante sur \([-1;2]\) et croissante pour \(x\geqslant 2\) . La seule représentation graphique qui respecte ces conditions est la représentation n°3.

    L'affirmation est VRAIE