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Devoir sur les fonctions dérivées : Application 16-17

Durée: 2h

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Exercice 1 : Tangentes à une courbe

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{3x}{x^2+1}\)  et on appelle \(\text C_f\)  sa courbe représentative.

  1. Calculer la fonction dérivée de \(f\) .

  2. Déterminer les abscisses des points en lesquels \(\text C_f\)  admet une tangente horizontale.

    Donner alors une équation de ces tangentes.

    1. Établir une équation de la tangente \(\text T_0\)  à \(\text C_f\) au point d'abscisse 0.

    2. Étudier le signe de \(f(x)-3x\) . En déduire la position relative de \(\text C_f\)  et \(\text T_0\) .

  4. Sur une feuille de papier millimétré qui sera à rendre avec la copie :

    • Construire un tableau de valeurs avec \(x\) allant de -3 à 3 avec un pas de \(0,5\). On arrondira les valeurs au centième.

    • Tracer avec soin \(\text C_f\)  et les tangentes précédemment étudiées.

  1. \(f\)  est une fonction rationnelle et \(1+x^2>1\)  donc \(f\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

    \(f\)  est de la forme \(\dfrac u v\)  avec \(u(x)=3x\) et \(v(x)=x^2+1\)  soit \(u'(x)=3\)  et \(v'(x)=2x\).

    D'où, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v(x)^2}=\dfrac{3x^2+3-6x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-3x^2+3}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}\)

  2. \(f'(x)\)  s'annule en \(-1\) et \(1\) .

    En ces valeurs, les tangentes ont donc pour équations:   

    \(\text T_{-1}\) : \(y=f(-1)=-\dfrac 3 2\)

    \(\text T_1\) : \(y=f(1)=\dfrac 3 2\)

    1. \(\text T_0\) : \(y=f'(0)(x-0)+f(0)=3x+0=3x\) soit \(\text T_0\) : \(y=3x\).

    2. \(f(x)-3x=\dfrac{3x}{x^2+1}-\dfrac{3x(x^2+1)}{x^2+1}=\dfrac{-3x^3}{x^2+1}\). Or \(x^2+1>0\) , le signe de \(f(x)-3x\)  est donc celui de \(-x^3\).

    Soit \(f(x)-3x\)  positive sur \(\mathbb{R}^-\) et \(f(x)-3x\)  négative sur \(\mathbb{R}^+\).

    Donc \(\text C_f\)  est au-dessus de \(\text T_0\)  sur \(\mathbb{R}^-\) et \(\text C_f\)  est en dessous de \(\text T_0\)  sur \(\mathbb{R}^+\).

  4. Courbe et valeurs

Exercice 2

Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit \(f\)  la fonction définie sur \([0;15]\)  par \(f(x)=2x^3-60x^2+450x\) .

  1. Calculer \(f'(x)\) .

  2. Étudier le signe de \(f'(x)\) .

  3. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) .

Partie II : Optimisation

On veut construire le patron d'une boîte de lait dans une feuille carrée de 30 cm de côté.

La figure 1 ci-dessous représente ce patron et la figure 2 est celle de la boîte, qui est un parallélépipède rectangle.

L'objectif de cet exercice est de trouver la valeur de \(x\)  telle que le volume de la boîte soit maximal.

  1. Montrer que la largeur de la boîte est \(l(x)=15-x\) .

  2. Exprimer en fonction de \(x\)  le volume \(\text V(x)\)  de la boîte.

  3. Pour quelle valeur de \(x\)  le volume de cette boîte est-il maximal ?

    Calculer le volume maximal en \(\text{cm}^3\) .

Partie I

  1. \(f\)  est un polynôme donc dérivable sur \([0;15]\), pour \(x \in [0;15]\), \(f'(x)=6x^2-120x+450\) .

  2. \(f'(x)\)  est un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\):

    \(\Delta =120^2-4\times 6\times 450\)  soit \(\Delta=3600=60^2\)

    Les racines du trinômes sont donc: \(x_1=\dfrac{120-60}{12}=5\) et \(x_2=\dfrac{120+60}{12}=15\) .

    On a donc le tableau de signes suivant:

  3. On en déduit alors les variations de \(f\) :

    Avec \(f(5)=1000\) .

Partie II

  1. On a \(l(x)+x+l(x)+x=30\)  soit \(2l(x)+2x=30\)  et donc \(l(x)=15-x\)

  2. \(\text V(x)=l\times \text L\times h=(15-x)\times x\times (30-2x)\) D'où \(\text V(x)=2x^3-60x^2+450x\)

  3. D'après le tableau des variations de \(f\)  dans la partie I, on a \(\text V\)  maximal lorsque \(x=5\) , et \(f(5)=1000\) , le volume maximal de la boîte est donc \(1000\text{cm}^3\) , soit 1 litre.