Devoir Produit Scalaire 16-17

Durée: 55min

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Exercice 1

Dans un repère orthonormé \(({\text O} ;\vec {\imath} ,\vec {\jmath})\)  du plan, on a \(\text A(6 ;10)\) ,  \(\text B(4 ;6)\) , \(\text C(-4 ;2)\)  et  \(\text D(2\sqrt 3 ;4\sqrt 3)\)

1. Faire un dessin au dos de cette feuille.

2. Déterminer la mesure principale en radian de l'angle orienté de vecteurs \((\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}})\).

Exercice 2

On se place dans un plan muni d'un repère orthonormal \(({\text O} ;\vec{\imath},\vec{\jmath})\) .

On considère les vecteurs \(\vec u\) \(\left(\begin{matrix}2t-1\\2\end{matrix}\right)\)  et \(\vec v\) \(\left(\begin{matrix}2t\\4t-1\end{matrix}\right)\) .

Calculer \(t\)  pour que \(\vec u\)  et \(\vec v\)  soient orthogonaux.

Exercice 3

Soit \(\text{ABE}\) un triangle équilatéral de côté \(a\) , le carré \(\text{ABCD}\) contenant \(\text{E}\) et le carré \(\text{EBGF}\) contenant \(\text{C}\).

1. Exprimer \(\overrightarrow{ {\text{BC}}} \cdot \overrightarrow{ {\text{BE}}}\) et \(\overrightarrow{ {\text{EA}}} \cdot \overrightarrow{ {\text{EB}}}\) en fonction de \(a\).

2. Montrer que \(\text{BCG}\) est un triangle équilatéral.

3. Exprimer \(\overrightarrow{ {\text{BC}}} \cdot \overrightarrow{ {\text{BG}}}\) et \(\overrightarrow{ {\text{DA}}} \cdot \overrightarrow{ {\text{EF}}}\) en fonction de \(a\).

4. Exprimer \(\overrightarrow{ {\text{AE}}} \cdot \overrightarrow{ {\text{EF}}}\) en fonction de \(a\).

5. En déduire la valeur de \(\overrightarrow{ {\text{DE}}} \cdot \overrightarrow{ {\text{BF}}}\).

6. Démontrer que les points \(\text{D}\), \(\text{E}\) et \(\text{G}\) sont alignés.