Approfondissement

Dans les exercices suivants, plusieurs propositions peuvent être exactes. Indiquez lesquelles en justifiant à chaque fois votre réponse.

Exercice 1

À tout réel \(x\), on associe la fonction \(f: x \mapsto x^2-6x+m-1\).

A - Pour \(m \geq 10\), \(f(x)\) est strictement positif pour tout réel \(x\).

B - Si \(3\) est racine de \(f(x)=0\), alors c'est une racine double.

C - Si \(m<1\), l'équation \(f(x)=0\) a deux racines de signes contraires.

D - Si \(m\) appartient à l'intervalle \(]1;10[\), l'équation \(f(x)=0\) a deux racines positives.

Exercice 2

\(f\) est la fonction \(x \mapsto -x^2+ax+1\)

A - \(f(x)<0\) pour tout réel \(x\).

B - L'équation \(f(x)=0\) a deux racines distinctes et de signes contraires.

C - Si \(x_0\) est la racine positive, alors \(f(x) \leq 0\) pour tout \(x\) de l'intervalle \(\left[-\dfrac{1}{x_0};x_0\right]\).

D - L'équation \(f(x)=0\) n'admet jamais deux racines entières.

Exercice 3

\(f\) est la fonction trinôme définie par \(f(x)=ax^2+bx+c \quad (a \neq 0)\).

A - Si, pour tout réel \(x\), \(f(x)<0\), alors \(\Delta<0\)

B - Si \(\Delta\) est négatif, alors, pour tout réel \(x\), \(f(x)<0\).

C - S'il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(\alpha)f(\beta)<0\), alors \(\Delta>0\)

D - Si l'équation \(f(x)=0\) admet deux racines distinctes \(x'\) et \(x''\) et si \(\alpha\) et \(\beta\) sont deux réels tels que \(x'<\alpha<x''<\beta\), alors \(f(\alpha)f(\beta)<0\).

Exercice 4

\(f\) est la fonction trinôme définie par \(f(x)=ax^2+bx+c \quad (a \neq 0)\).

A - Si \(ac<0\), alors l'équation \(f(x)=0\) a deux racines distinctes de signes contraires.

B - Si \(b=0\), alors l'équation \(f(x)=0\) a deux racines opposées.

C - Si \(a+b+c=0\), alors \(f(x)=(ax-c)(x-1)\).