SujetCorrigé

Devoir sur le Second degré

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la justification.

Le baréme est donné à titre indicatif.

Durée : 1h

Exercice 1 (3,5 points)

Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=-x^2+4x+12\).

On note \(C_f\) sa courbe représentative.

1. a) Écrire \(f(x)\) sous forme canonique.

   b) En déduire que \(f\) admet un maximum que l’on précisera.

   En quelle valeur ce maximum est-il atteint?

2. a) Factoriser \(f(x)\) à partir de sa forme canonique.

   b) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) sans utiliser le discriminant.

Exercice 2 (2,5 points)

Résoudre les deux équations suivantes :

\[(E_1) : 4(x+3)^2-(x-5)^2=0\]

\[(E_2) : \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+15}=\dfrac{1}{56}\]

Exercice 3 (4 points)

Les deux graphiques ci-dessous correspondent chacun à la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré \(f\).

Dans chacun des cas, déterminer une expression de \(f(x)\) .

1. 

2. 

Exercice 4 (2 points)

Quelles sont les dimensions d’un rectangle de périmètre 50 \(\text{m}\) et d’aire 114 \(\text{m}^2\) ?

Exercice 5 (4 points)

\(m\) est un réel donné et \(f\) la fonction trinôme définie par \(f(x)=mx^{2}+{4}x+{2}(m-{1})\).

1. a) Pour quelle(s) valeur(s) de \(m\) l’équation \(f(x)=0\) a-t-elle une seule solution ?

   b) Quel est l’ensemble des réels \(m\) pour lesquels l’équation \(f(x)=0\) a deux solutions distinctes ?

2. Quel est l’ensemble des réels \(m\) pour lesquels \(f(x)<0\) pour tout réel \(x\) ?

3. Donner l’équation de la droite \((d)\) axe de symétrie pour la courbe représentative de \(f\).

Exercice 6 Un problème chinois (bonus)

Une ville carrée de dimensions inconnues possède une porte au milieu de chacun de ses côtés.

Un arbre se trouve à 20 pas de la porte Nord, à l’extérieur de la ville. Il est visible d’un point que l’on atteint en faisant 14 pas vers le sud à partir de la porte Sud, puis 1775 pas vers l’ouest. Quelle est la dimension de chaque côté ?

Exercice 1

1.a) \(f(x)=-(x^2-4x-12)=-((x-2)^2-4-12)=-(x-2)^2+16\)

b) On a \((x-2)^2\geqslant 0 \rightarrow -(x-2)^2 \leqslant 0 \Rightarrow -(x-2)^2+16 \leqslant 16 \Rightarrow f(x)\leqslant 16\)

De plus \(f(2)=16\) donc \(f\) admet bien 16 pour maximum, atteint pour \(x=2\) .

1. a) \(f(x)=-((x-2)^2-16)=-((x-2)^2-4^2)=-(x-2-4)(x-2+4)=-(x-6)(x+2)\).

b) D'après l'écriture qui précède, on déduit que \(f(x)=0\) pour \(x\) \({\in}\){-2;6}.

Exercice 2

\(4(x+3)^2-(x-5)^2=(2x+6)^2-(x-5)^2=(2x+6-(x-5))(2x+6+x-5)=(x+11)(3x+1)\)

D'où \((\text E_1) \Leftrightarrow (x+11)(3x+1)=0 \Leftrightarrow x=-11\) ou \(x=-\dfrac 1 3\)

L'ensemble \(\text S_1\) des solutions de \((\text E_1)\) est donc \(\text S_1=\left\{-11\mathrm ;-\dfrac 1 3\right\}\).

\(\dfrac 1 x+\dfrac 1{x+15}=\dfrac 1{56} \Leftrightarrow \dfrac{2x+15}{x(x+15)}=\dfrac 1{56} \Leftrightarrow 56(2x+15)=x(x+15)\) avec \(x\notin \{0 \mathrm ;-15\}\) .

Dans la suite, on suppose que \(x\notin \{0 ;-15\}\) :

\(56(2x+15)=x(x+15) \Leftrightarrow 112x+840=x^2+15x \Leftrightarrow x^2-97x-840=0\)

Cette dernière équation est du second degré, calculons le discriminant \(\Delta\):

\(\Delta=97^2-4\times 1\times (-840)=12769=113^2\)

L'équation \((\text E_2)\) admet donc deux solutions distinctes :

\(x_1=\dfrac{97-113} 2=-8\) et \(x_2=\dfrac{97+113} 2=105\).

L'ensemble \(\text S_2\) des solutions de \((\text E_2)\) est donc \(\text S_2=\left\{-8\mathrm ;105\right\}\).

Exercice 3

1. \(-2\) et \(1\) sont solutions de \(f(x)=0\) , donc \(f\) s'écrit \(f(x)=a(x+2)(x-1)\) .

   De plus, \(f(0)=-1 \Rightarrow f(0)=a\times 2\times (-1)=-1 \Rightarrow a=\dfrac 1 2\) .

   D'où \(f(x)=\dfrac 1 2(x+2)(x-1)\).

2. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées \((-1\mathrm ;-1)\).

   D'où \(-\dfrac b{2a}=-1 \Rightarrow b=2a\) et \(f(-1)=-1 \Rightarrow a-b+c=-1 \Rightarrow c=a-1\)

   \(f\) s'écrit donc \(f(x)=\mathit{ax}^2+2\mathit{ax}+a-1\)

   De plus, \(f(1)=-2 \Rightarrow a+2a+a-1=-2 \Rightarrow a=-\dfrac 1 4\)

   D'où \(f(x)=-\dfrac 1 4x^2-\dfrac 1 2x-\dfrac 5 4\).

Exercice 4

On pose \(a\) la longueur et \(b\) la largeur du rectangle (On suppose \(a>b\) ).

On a donc 2a+2b=50 soit \(a+b=25\) et \(ab=114\) .

On retrouve la somme et le produit des racines d'un trinome.

\(a\) et \(b\) sont les solutions de l'équation : \(x^2-25x+114=0\)

Cette dernière équation est du second degré, calculons le discriminant \(\Delta\):

\(\Delta=(-25)^2-4\times 114=169=13^2\)

L'équation admet donc deux solutions distinctes:

\(b=25-\dfrac{\sqrt{169}} 2=6\) et \(a=25+\dfrac{\sqrt{169}} 2=19\)

Exercice 5

1. a) \(\mathit{mx}^2+4x+2(m-1)=0\)

   (E) est une équation du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\):

   \(\Delta=4^2-8m(m-1)=-8m^2+8m+16=8(-m^2+m+2)\)

   Si \((\text E)\) admet une seule solution, alors \(\Delta=0\) . Déterminons donc les racines de \(-m^2+m+2\).

   On reconnaît -1 comme racine évidente, comme \(x_1x_2=-2\) , alors la deuxième racine est 2.

   L'équation (E) admet donc une seule solution si et seulement si \(m \in \{-1;2\}\) .

   b) \(g(m)=-m^2+m+2\) est une fonction polynomiale du second degré avec \(a=-1\) . \(g\) est donc positive entre ses racines.

   L'équation (E) admet donc deux solutions si et seulement si \(m \in ]-1;2[\) .

2. On a \(f(x)<0\) ou \(f(x)>0\) si \(f\) n'admet aucune racine, donc si \(m \in ]-\infty;-1[{\cup}]2 ;+\infty [\) .

   De plus, pour avoir \(f(x)<0\) , il faut que \(f\) admette un maximum, donc pour \(m<0\) .

   On a donc \(f(x)<0\) pour \(m \in ]-\infty;-1[\) .

3. \(x=-\dfrac b{2a}\) est axe de symétrie soit \(x=-\dfrac 2 m\).

Exercice 6 (bonus)

Soit \(N\) la porte nord et \(2x\) la dimension du côté de la ville.

On a:

• \(\text N\) appartient à \((\text{AB})\),
• \(\text D\) appartient à \((\text{AC})\),
• \((\text{DN})\) est parallèle à \((\text{CB})\).

D'après le théorème de Thalès, on a:

\(\dfrac{\text{DN}}{\text{CB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AB}}\) .

En remplaçant par les longueurs en fonction de \(x\) , on obtient:

\(\dfrac x{1775}=\dfrac{20}{2x+34}\) .

Pour \(x>0\) , on a:

\(x(2x+34)=20 \times 1775 \Leftrightarrow 2x^2+34x-35500=0 \Leftrightarrow x^2+17x-17750=0 (\text E)\)

On obtient un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\):

\(\Delta=17^2-4\times 1\times (-17750)=71289={267}^2\).

\(\Delta>0\) donc \((\text E)\) admet deux racines distinctes.

\(x_1=\dfrac{-17-267} 2=-142\) et \(x_2=\dfrac{-17+267} 2=125\)

On garde la solution positive.

La dimension d'un côté de la ville est \(2x_2=250\) \(m\) .