SujetCorrigé

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Durée: 55 min

Exercice 1 (5 points)

1. a. Résoudre l'équation \(-6x^2+x+1=0\) .

   b. Résoudre \(-x=1+\dfrac 1 x\) .

2. a. Déterminer le tableau de variations de la fonction \(g\) définie sur ℝ par \(g(x)=-x^2+x+1\).

   b. En déduire la résolution de l'inéquation \(g(x)\geqslant \sqrt 5\) .

3. Résoudre sur ℝ l'équation suivante : \(\sqrt{-x+2}=2x-7\).

Exercice 2 (2 points)

Une porte est constituée :

• d'un battant rectangulaire de hauteur notée \(y\), de largeur notée \(x\).

• d'un cintre semi-circulaire.

La hauteur totale de la porte est \(h = 3 \text{m}\) et l'aire du battant rectangulaire est égale à 2 \(\text{m}^2\).

Quelle est la largeur de la porte ?

Exercice 3 (3 points)

On considère deux fonctions trinômes, \(f\) et \(g\), dont vous avez les représentations graphiques.

1. Déterminer l'expression développée de \(f(x)\).

   

2. Déterminer l'expression développée de \(g(x)\).

   

Exercice 4 (3 points)

1. Soit \(2x^2+x-1\), trouver une racine évidente \(x_1\) de ce trinôme.

   En déduire la seconde \(x_2\).

2. Résoudre l'inéquation suivante : \(\dfrac{2x^2-x+1}{2x^2+x-1}\leqslant 0\) .

Exercice 1

1. a. On a une équation du 2nd degré, calculons son discriminant \(\Delta\) :

   \(\Delta=b^2-4\mathit{ac}=1+4\times 6=25=5^2\). \(\Delta>0\) donc deux racines distinctes.

   \(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) .

   D’où \(x_1=\dfrac{-6}{-12}=\dfrac 1 2\) et \(x_2=\dfrac 4{-12}=-\dfrac{1} 3\) d’où l’ensemble \(S\) des solutions de l’équation: \(\text S=\left\{-\dfrac 1 3\mathrm ;\dfrac 1 2\right\}\)

   b. On a une valeur interdite \(x=0\) , donc on se place sur \(\mathbb{R}^*\).

   \(-x=1+\dfrac 1 x \Rightarrow -x^2=x+1 \Rightarrow x^2+x+1=0\)

   C'est une équation du 2nd degré, calculons son discriminant \(\Delta\) :

   \(\Delta=b^2-4\mathit{ac}=1-4=-3\) donc \(\Delta<0\).

   Dans \(\mathbb{R}\), il n'y a pas de solutions à l’équation de départ. \(\text S={\emptyset}\) .

2. a. On a \(a<0\) et le sommet de la parabole qui est \(\left(\dfrac 1 2\mathrm ;\dfrac 5 4\right)\).

   On a donc le tableau des variations de \(g\) :

   

   b. D’après le tableau ci-dessus, on a \(g(x)\leqslant \dfrac 5 4\) donc \(g(x)<\sqrt 5\) . L’inéquation \(g(x)\geqslant \sqrt 5\) n’admet donc pas de solutions. L’ensemble \(\text S\) des solutions est \(\text S={\emptyset}\).

3. On détermine l’ensemble de recherche des solutions : \(-x+2\geqslant 0\) et \(2x-7\geqslant 0\) d’où \(x\leqslant 2\) et \(x\geqslant \dfrac 7 2\) .

   L’intersection de ces deux ensembles étant vide, il ne peut pas exister de solution à l’équation de départ. L’ensemble \(\text S\) des solutions est \(\text S={\emptyset}\) .

Exercice 2

x est la largeur de la porte. La hauteur du battant rectangulaire est \(y=h-\dfrac x 2\) car le cintre a pour hauteur \(\dfrac x 2\).

L'aire du battant rectangulaire est donc : \(x\left(3-\dfrac x 2\right)\) .

On résout l'équation \(x\left(3-\dfrac x 2\right)=2 \Leftrightarrow x^2–6x+4=0\)

C'est une équation du second degré, on calcule son discriminant \(\Delta\):

\(\Delta = ( – 6 )^2 – 4 \times 1 \times 4 = 36 – 16 = 20 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{20}=2\sqrt 5\)

D'où 2 solutions pour x : \(x_1 = 3-\sqrt 5\) et \(x_2 = 3+\sqrt 5\).

Exercice 3

1. \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x+2)(x-5)\) Avec le point \(\text A(0\mathrm ;5)\) de \(\text C_f\), on a \(f(0)=5\) soit \(-10a=5\) d’où \(a=-\dfrac 1 2\). Donc \(f(x)=-\dfrac 1 2(x+2)(x-5)=-\dfrac 1 2(x^2-3x-10) \Rightarrow f(x)=-\dfrac 1 2x^2+\dfrac 3 2x+5\).

2. \(g(x)=a(x-x_{\text S})^2+y_{\text S}=a\left(x-\dfrac 5 2\right)^2+\dfrac{11} 2\). Avec le point \(\text B(1\mathrm ;1)\) de \(\text C_g\) , on a : \(f(1)=1\)

   D’où \(a\left(1-\dfrac 5 2\right)^2+\dfrac{11} 2=1 \Rightarrow a\left(\dfrac 3 2\right)^2+\dfrac{11} 2=1 \Rightarrow \dfrac 9 4a=-\dfrac 9 2 \Rightarrow a=-2\) .

   Et \(g(x)=-2\left(x-\dfrac 5 2\right)^2+\dfrac{11} 2=-2\left(x^2-5x+\dfrac{25} 4\right)+\dfrac{11} 2 \Rightarrow g(x)=-2x^2+10x-7\) .

Exercice 4

1. On teste \(x_1=-1\) : \(2(-1)^2-1-1=2-2=0\) donc \(x_1=-1\) est une racine évidente.

   On a \(x_1x_2=\dfrac c a\) soit \(-x_2=\dfrac{-1} 2\) et \(x_2=\dfrac 1 2\) .

2. D’après 1., il y a deux valeurs interdites, \(-1\) et \(\dfrac 1 2\).

   On étudie \(2x^2-x+1\), c’est un trinôme du 2nd degré, calculons son discriminant \(\Delta=b^2-4\mathit{ac}=1-4\times 2=-7\) , on a \(2>0\) donc \(2x^2-x+1>0\).

   En revanche, \(2x^2+x-1\) ayant deux racines avec \(a>0\), on obtient le tableau de signe suivant :

   

   L’ensemble \(\text S\) des solutions de l’inéquation est donc \(\left]-1\mathrm ;\dfrac 1 2\right[\) .