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Durée: 55 min

Exercice 1 : 6 points

Résoudre les équations suivantes:

a.    \(3t-t^2+2=0\)

b.    \(2x^3+x^2-3x=0\)

c.    \(x-\dfrac 1 x=1\)

d.    \(x+\sqrt{x-3}=9\)

Exercice 2 : 6 points

Soit \(f(x)=x^2+\mathit{mx}+m\) où \(m\) désigne un nombre réel.

  1. Pour quelle(s) valeur(s) de \(m\) le nombre 1 est-il une racine de \(f(x)\) ?

    Déterminer alors l’autre racine.

  2. Calculer le discriminant \(\Delta\) de \(f(x)\).

  3. Avec un tableau de signe, déduire les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(f(x)\) admet deux racines.

  4. Mettre \(f(x)\) sous forme canonique. En déduire la valeur de l’extremum de \(f\) et préciser si c’est un minimum ou un maximum.

Exercice 3 : 3 points

  1. Déterminer deux nombres de somme 10 et dont la somme des carrés est 80.

  2. Si la somme de deux nombres est 10, quelle est la valeur minimale de la somme de leurs carrés ?

Exercice 1

a. \(-t^2+3t+2=0\) est une équation du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\):

\[\Delta=9+4\times 2=17\]

L'équation admet donc deux solutions: \(t_1=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{-2}\) et \(t_2=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{-2}\)

L'ensemble \(\text S\) des solutions de l'équation est donc: \(\text S=\left\{\dfrac{3-\sqrt{17}} 2\mathrm ;\dfrac{3+\sqrt{17}}2\right\}\) .

b. \(2x^3+x^2-3x=0 \Leftrightarrow x(2x^2+x-3)=0\)

\(2x^2+x-3\) est un trinôme du second degré qui admet \(1\) pour racine évidente, la deuxième racine s'obtient grâce à \(x_1x_2=\dfrac c a=\dfrac{-3} 2\). On a \(x_1=1\) donc \(x_2=-\dfrac 3 2\).

L'ensemble \(\text S\) des solutions de l'équation de départ est donc: \(\text S=\left\{-\dfrac 3 2\mathrm ;0\mathrm ;1\right\}\).

c. \(x-\dfrac 1 x=1 \Leftrightarrow x^2-1=x\) et \(x\neq 0 \Leftrightarrow x^2-x-1=0\) et \(x\neq 0\).

\(x^2-x-1\) est un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\).

\[\Delta=1+4=5\]

Ce trinôme admet donc deux racines: \(x_1=\dfrac{1-\sqrt 5} 2\) et \(x_2=\dfrac{1+\sqrt 5} 2\)

Ces racines étant non nulles, l'ensemble \(\text S\) des solutions de l'équation de départ est donc:

\[\text S=\left\{\dfrac{1-\sqrt 5} 2\mathrm ;\dfrac{1+\sqrt 5} 2\right\}\]

d. \(x+\sqrt{x-3}=9 \Leftrightarrow 9-x=\sqrt{x-3} \Leftrightarrow (9-x)^2=x-3\) et \(x-3\geqslant 0\) et \(9-x\geqslant 0 \Leftrightarrow 81-18x+x^2=x-3\) et \(x\in [3\mathrm ;9] \Leftrightarrow x^2-19x+84=0\) et \(x\in [3\mathrm ;9]\) .

Résolvons l'équation \(x^2-19x+84=0\) :

C'est un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\):

\[\Delta=19^2-4\times 84=25=5^2\]

Les solutions de l'équation sont : \(x_1=\dfrac{19-5} 2=7\) et \(x_2=\dfrac{19+5} 2=12\).

Or \(x\in [3\mathrm ;9]\), l'ensemble \(\text S\) des solutions de l'équation de départ est donc:

\[\text S=\left\{7\right\}\]

Exercice 2

  1. \(1\) est racine implique \(f(1)=0 \Rightarrow 1+2m=0 \Rightarrow m=-\dfrac 1 2\).

    On déduit la deuxième racine en sachant que \(x_1x_2=\dfrac m 1=m\) d'où \(x_2=m=-\dfrac 1 2\).

  2. \(\Delta=m^2-4m=m(m-4)\)

  3. Tableau de signe

    \(f\) admet donc deux racines distinctes dans le cas où \(m\in ]0\mathrm ;4[\) (et une racine double si \(m=0\) ou \(m=4\)) .

  4. Forme canonique

    \[f(x)=\left(x+\dfrac m 2\right)^2-\dfrac{m^2} 4+m \]

    \(f(x)=\left(x+\dfrac m 2\right)^2-\dfrac{m^2-4m} 4\) \(f\) admet alors comme minimum \(\beta =-\dfrac{m^2-4m} 4\)

Exercice 3

  1. On a \(a+b=10 \Rightarrow (a+b)^2=100 \Rightarrow a^2+b^2+2\mathit{ab}=100 \Rightarrow 2\mathit{ab}=100-a^2-b^2=100-(a^2+b^2)\)

    D'où \(2\mathit{ab}=20\) et \(\mathit{ab}=10\)

    On résout le système \(\left\{\begin{matrix}a+b=10\\\mathit{ab}=10\end{matrix}\right.\)

    Avec les propriétés de somme et produit des racines d'un trinôme du second degré, on obtient, \(a\) et \(b\) solutions de l'équation: \(x^2-10x+10=0\)

    Calculons le discriminant \(\Delta\) de cette équation: \(\Delta=10^2-40=60\)

    Les solutions s'écrivent alors: \(x_1=\dfrac{10-\sqrt{60}} 2\) et \(x_2=\dfrac{10+\sqrt{60}} 2\).

    D'où \(a=5-\sqrt{15}\) et \(b=5+\sqrt{15}\) ou le contraire...

  2. \(a+b=10 \Rightarrow b=10-a\), on étudie alors \(f(a)=a^2+(10-a)^2=2a^2-20a+100 \Rightarrow f(a)=2(a^2-10a+50) \Rightarrow f(a)=2((a-5)^2-25+50) \Rightarrow f(a)=2(a-5)^2+50\)

    Avec cette dernière expression de \(f\) il est clair que \(f(a)\geqslant 50\), or \(f(5)=50\)

    50 est donc le minimum de la somme des carrés et, dans ce cas, \(a=b=5\).