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Durée: 55 minutes

Exercice 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) chacune des équations ci-dessous :

a. \(x^2-x-2=0\)

b. \(5x^3-3x^2-5x=0\)

c. \(\dfrac x{2x+3}=\dfrac{x-1}{3x}\)

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants. déterminer un trinôme \(\text P\) du second degré tel que :

  1. \(\text P\) admet pour racines les nombres \(4\) et \(7\).

  2. \(\text P\) admet une racine double égale à \(-5\).

  3. \(\text P\) admet pour racines les nombres \(-9\) et \(8\) et admet un maximum sur \(\mathbb{R}\).

  4. \(\text P\) n'admet aucune racine et admet un maximum sur \(\mathbb{R}\).

  5. La courbe représentative de \(\text P\) admet la droite d'équation \(x=-5\) comme axe de symétrie et \(\text P\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 3: Optimisation

\(\text{AMN}\) est un triangle rectangle en \(\text A\) tel que \(\text{AM}=x \: \text{cm}\) et \(\text{AN}=5-x \: \text{cm}\).

  1. Quelles sont les valeurs possibles pour \(x\) ?

  2. Existe-t-il une position du point \(\text M\) pour laquelle la quantité \(\text{MN}^2\) est maximale ou minimale ?

    Si tel est le cas, déterminer cette valeur et en déduire la plus grande ou la plus petite valeur de \(\text{MN}\).

Exercice 1

a. \(x^2-x-2=0\) admet pour solution évidente \(x_1=-1\), ce trinôme du 2nd degré admet donc une seconde racine telle que: \(x_1x_2=\dfrac c a\) d'où \(x_1x_2=-2\) et \(x_2=\dfrac{-2}{-1}=2\).

L'ensemble \(\text S\) des solutions de cette équation est donc:

\[\text S=\{-1;2\}\]

b. On a \(5x^3-3x^2-5x=x(5x^2-3x-5)\) , \(0\) fait donc partie des solutions de l'équation de départ.

Résolvons \(5x^2-3x-5=0\):

C'est une équation du second degré, déterminons son discriminant \(\Delta\):

\(\Delta=9-4\times 5\times (-5) \Leftrightarrow \Delta=9+100 \Leftrightarrow \Delta=109\)

\(\Delta>0\) donc l'équation du 2nd degré admet deux solutions: \(x_1=\dfrac{3-\sqrt{109}}{10}\) et \(x_2=\dfrac{3+\sqrt{109}}{10}\).

Au final l'ensemble \(\text S\) des solutions est:

\[\text S= \left\{\dfrac{3-\sqrt{109}}{10};0;\dfrac{3+\sqrt{109}}{10}\right\}\]

c. \(\dfrac x{2x+3}=\dfrac{x-1}{3x} \Leftrightarrow 3x^2=(2x+3)(x-1)\) avec \(x\neq 0\) et \(x\neq -\dfrac 2 3\)

Dans la suite on considère donc que \(x\neq 0\) et \(x\neq -\dfrac 2 3\):

\(3x^2=2x^2-2x+3x-3 \Leftrightarrow x^2-x+3=0\)

Ceci est une équation du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\):

\(\Delta=1-4\times 3 \Leftrightarrow \Delta=-11\)

Le discriminant étant négatif l'ensemble \(\text S\) des solutions est vide:

\[\text S={\emptyset}\]

Exercice 2

  1. \(\text P(x)=(x-4)(x-7)\)

  2. \(\text P(x)=(x+5)^2\)

  3. \(\text P(x)=(-1)\times (x+9)(x-8)\)

  4. \(\text P(x)=-x^2-1\)

  5. Les solutions sont symétriques donc \((x+10)x\) répond à la question.

Exercice 3

  1. Les longueurs sont positives donc \(x\geqslant 0\) et \(5-x\geqslant 0\) d'où \(x\in [0\mathrm ;5]\).

  2. On a \(\text{MN}^2=\text{AM}^2+\text{AN}^2\) (Pythagore dans AMN rectangle en A).

    D'où: \(\text{MN}^2=x^2+(5-x)^2 \Leftrightarrow \text{MN}^2=2x^2-10x+25\)

    \(\text{MN}^2\) est une fonction du 2nd degré, déterminons ses variations sur \(\left[0;5\right]\):

    On a \(2>0\). \(\text{MN}^2\) admet donc un minimum en \(x_{\text S}=\dfrac{10} 4=2,5\) soit .

    On a alors \(\text{MN}^2=2\times \left(\dfrac 5 2\right)^2-10\times \left(\dfrac 5 2\right)+25\). Soit \(\text{MN}^2=\dfrac{25} 2\) .

    La plus petite valeur de \(\text{MN}\) est donc \(\dfrac 5{\sqrt 2}=\dfrac{5\sqrt 2} 2\).