Activité fondamentale sur l'exponentielle.

Recherche d'une fonction \(f\)  dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f'=f\)  et \(f(0)=1\).

Ne trouvant pas de fonctions connues répondant à ce problème, nous nous proposons, en supposant qu'elle existe, de trouver des propriétés de cette fonction.

1. Démontrer que la fonction \(\text j\): \(x \mapsto f(x)\times f(-x)\)  est constante.

   En déduire que \(f\)  ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}\) et que pour tout \(x\)  réel , \(f(-x)=\dfrac 1{f(x)}\).

2. Unicité de \(f(x)\). On raisonne par l'absurde :

   Soit \(g\) une autre fonction telle que \(g'(x)=g(x)\)  et \(g(0)=1\) , on pose \(h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}\).

   Montrer que \(h\) est constante et en déduire que \(g(x)=f(x)\).

3. Démontrer que la fonction \(h(x)=\dfrac{f(a+x)}{f(x)}\) (où a est un réel fixé ) est constante.

   En déduire que pour tous les réels \(a\)  et \(x\)  on a  \(f(x+a)=f(x)\times f(a)\).